В качестве одного из применений кватернионов, которые уже использовались в динамике твердого тела ( 2 гл. 2), рассмотрим регу-

ляризацию пространственной задачи Кеплера, предложенную Кустаанхеймо и Штифелем (KS-преобразование см., например, [168]). Геометрия задачи Кеплера и ее регуляризация обсуждаются также в [290].

Пусть в восьмимерном фазовом пространстве $(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) \in \mathbb{R}^{8}$ задана гамильтонова система с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{8 \mathbf{Q}^{2}}(\mathbf{P}, \mathbf{P})+\frac{\gamma}{\mathbf{Q}^{2}}, \quad \mathbf{Q}^{2}=(\mathbf{Q}, \mathbf{Q}) .
\]

На уровне энергии $H=h$ после замены времени $d t / d \tau=\mathbf{Q}^{2}$ эта система сводится к уравнениям простого осциллятора, то есть регуляризуется. Действительно, если произведена замена времени $d \tau=\Pi(\mathbf{P}, \mathbf{Q}) d t$, то дифференциальные уравнения Гамильтона преобразуются к виду
\[
\frac{d \mathbf{P}}{d \tau}=-\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{Q}}, \quad \frac{d \mathbf{Q}}{d \tau}=\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{P}} .
\]

Если ввести новую функцию Гамильтона $F=\frac{1}{\Pi}(H-h)$ и ограничиться рассмотрением системы на уровне энергии $H=h(F=0)$, то уравнения движения системы с гамильтонианом $F$ на уровне $H=h$ эквивалентны уравнениям (4.2):
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \mathbf{P}}{d \tau}=-\frac{\partial F}{\partial \mathbf{Q}}=-\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{Q}}-(H-h) \frac{\partial}{\partial \mathbf{Q}}\left(\frac{1}{\Pi}\right)=-\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{Q}}, \\
\frac{d \mathbf{Q}}{d \tau}=-\frac{\partial F}{\partial \mathbf{P}}=\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{Q}}+(H-h) \frac{\partial}{\partial \mathbf{Q}}\left(\frac{1}{\Pi}\right)=\frac{1}{\Pi} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{P}} .
\end{array}
\]

Рассмотрим также проекцию на $\mathbb{R}^{6}=(\mathbf{x}, \mathbf{y})$, заданную формулами
\[
\begin{array}{lll}
\mathbf{x}=\mathbf{L}(\mathbf{Q}) \mathbf{Q}, & \mathbf{Q}=\left(q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}\right), & \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right), \\
\mathbf{y}=2 \mathbf{L}(\mathbf{Q}) \mathbf{P}, & \mathbf{P}=\left(p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right), & \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}\right) .
\end{array}
\]

где $\mathbf{L}(\mathbf{Q})$ — матрица, задающая преобразование КустаанхймоШтифеля ( $K S$-преобразование)
\[
\mathbf{L}(\mathbf{Q})=\left(\begin{array}{rrrr}
q_{2} & q_{3} & q_{0} & q_{1} \\
-q_{3} & q_{2} & q_{1} & -q_{0} \\
q_{0} & q_{1} & -q_{2} & -q_{3} \\
-q_{1} & q_{0} & -q_{3} & q_{2}
\end{array}\right) .
\]

При преобразовании (4.3) всегда выполнено $x_{4}=0$, а $y_{4}=-q_{1} p_{0}+$ $+q_{0} p_{1}-q_{3} p_{2}+q_{2} p_{3}$ является первым интегралом системы с гамильтонианом (4.1). Если рассмотреть движения, при которых $y_{4}=c_{4}=0$, то уравнения (4.1) переходят в канонические уравнения на $\mathbb{R}^{6}=(\mathrm{x}, \mathbf{y})$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{y}, \mathbf{y})+\frac{\gamma}{r}, \quad r=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} .
\]

Этот факт наиболее просто установить, преобразуя (канонические) скобки Пуассона при помощи (4.3). В силу (4.3) выполнено $(\mathbf{x}, \mathbf{x})=$ $=(\mathbf{Q}, \mathbf{Q})^{2}$, и гамильтониан (4.5) соответствует пространственной (в $\mathbb{R}^{3}$ ) задаче Кеплера. Этот способ регуляризации, предложенный Кустаанхеймо и Штифелем, обобщает преобразование Болина (§2) для плоского случая и имеет многочисленные приложения в небесной механике [168].

Взаимосвязь между трехмерной задачей Кеплера и четырехмерным осциллятором, лежащую в основе $K S$-преобразования, можно также установить, пользуясь локальными координатами в $\mathbb{R}^{4}$. Действительно, рассмотрим в $\mathbb{R}^{4}$ новую систему коодинат ( $r, \theta, \varphi, \psi$ ), определяемую формулами
\[
\begin{array}{ll}
q_{0}=R \cos \frac{\psi+\varphi}{2} \cos \frac{\theta}{2}, & q_{1}=R \cos \frac{\psi-\varphi}{2} \sin \frac{\theta}{2}, \\
q_{2}=R \sin \frac{\psi+\varphi}{2} \cos \frac{\theta}{2}, & q_{3}=R \sin \frac{\psi-\varphi}{2} \sin \frac{\theta}{2},
\end{array}
\]

где $R^{2}=\sum_{i=0}^{3} q_{i}^{2}$. Если обозначить $R^{2}=r$, то гамильтониан четырехмерного гармонического осциллятора
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{3} p_{i}^{2}+\frac{\lambda^{2}}{2} \sum_{i=0}^{3} q_{i}^{2}, \quad \lambda=\mathrm{const}
\]

в новых координатах и соответствующих импульсах может быть представлен в виде:
\[
H=2 r p_{r}^{2}+\frac{2}{r}\left(\frac{p_{\psi}^{2}+p_{\varphi}^{2}-2 p_{\varphi} p_{\psi} \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}+p_{\theta}^{2}\right) .
\]

Координата $\psi$, входящая в гамильтониан (4.7), является циклической, а поэтому $p_{\psi}$ является первым интегралом. Если положить $p_{\psi}=0$, то уравнение для энергии $H=h$ системы (4.7) можно записать в виде
\[
-\frac{\lambda^{2}}{8}=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(p_{\theta}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right)\right)-\frac{h}{4 r} .
\]

Выражение (4.8) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для трехмерной задачи Кеплера (при отрицательных энергиях). При этом координаты $r, \theta, \varphi$ играют роль сферичеких координат в трехмерном евклидовом пространстве.

Пользуясь гномонической проекцией, $K S$-регуляризацию можно провести для искривленного пространства. Однако, при этом вместо гармонического осциллятора получается более сложная динамическая система (см. §2).

Замечание 1. $K S$-преобразование и преобразование Болина есть следствие алгебраической теоремы Гурвица утверждающей, что уравнение
\[
x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\ldots+x_{n-1}^{2}=\left(q_{0}^{2}+\ldots+q_{N-1}^{2}\right)^{2}
\]

имеет билинейное по $q_{i}$ решение
\[
x_{j}=a_{j l m} q_{l} q_{m}
\]

только для следующих пар чисел $(N, n)=(2,2),(4,3),(8,5)$. Число $N=2,4,8$ связано с алгебрами комплексных чисел, кватернионов и октанионов.
Общая форма преобразования Гурвица для $N=8$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x_{0}=q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}-q_{4}^{2}-q_{5}^{2}-q_{6}^{2}-q_{7}^{2}, \\
x_{1}=2\left(q_{0} q_{4}-q_{1} q_{5}-q_{2} q_{6}-q_{3} q_{7}\right), \\
x_{2}=2\left(q_{0} q_{5}-q_{1} q_{4}-q_{2} q_{7}+q_{3} q_{6}\right), \\
x_{3}=2\left(q_{0} q_{6}+q_{1} q_{7}+q_{2} q_{4}-q_{3} q_{5}\right), \\
x_{4}=2\left(q_{0} q_{7}-q_{1} q_{6}+q_{2} q_{5}+q_{3} q_{4}\right) .
\end{array}
\]

Преобразование Болина получается из него в случае $q_{1}=q_{2}=q_{3}=q_{4}=q_{5}=$ $=q_{6}=q_{7}=0, x_{2}=x_{3}=x_{4}=0$. Для получения $K S$-преобразования необходимо положить $q_{1}=q_{2}=q_{4}=q_{7}=0, x_{4}=0$.