В этом приложении приведем в более систематической форме сведения о сингулярных орбитах коприсоединенного представления групп Ли $SO(n)$ и $E(n)$. Как было показано в гл. 2,3 гамильтоновы системы на сингулярных орбитах алгебры $e(4)$ естественно возникают в различных механических и физических задачах. При изложении результатов, касающихся многомерных обобщений сингулярных орбит $so(n)$ и $e(n)$, мы будем в основном следовать работе [204].

1. Сингулярные орбиты $so(n)$. Рассмотрим алгебру Ли $so(n)$, реализованную как алгебра антисимметричных матриц:

Как известно, орбиты присоединенного представления алгебры $so(n)$ (изоморфного для полупростой алгебры коприсоединенному) задаются в $R^N,(N=\frac{n(n-1)}{2})$ как совместные поверхности уровня системы функций Казимира
$$S_k=\mathrm{Tr}{X}^k.$$

Иногда вместо этой системы удобно рассматривать эквивалентную систему функций, а именно — коэффициенты $p_k$ характеристического многочлена:
$${\mathrm{\Delta }}_X(\lambda )=|X-\lambda E|={\lambda }^n-p_1{\lambda }^{n-1}-p_2{\lambda }^{n-2}-\dots -p_n.$$

Переход от первой системы ко второй осуществляется при помощи формулы $p_k=S_k-p_1{S}_{k-1}-\dots -p_{k-1}{S}_1$. Для $so(n)$ справедливо соотношение $S_{2k+1}=\mathrm{Tr}{X}^{2k+1}=0$, из которого следует, что $p_{2k+1}=0$ и
$$p_2=\frac{1}{2}{S}_2,p_4=S_4-\frac{1}{2}{S}_2^2,p_6=S_6-\frac{1}{4}{S}_2{S}_4+\frac{1}{8}{S}_2^2,\dots$$

Лемма 1. Для $X\in \mathrm{so}(n)$ имеет место соотношение
$$p_{n-k}=(-1{)}^k\sum _{i_1<\dots <i_k}\left|X_{i_1\dots i_k}\right|=(-1{)}^k\sum _{i_1<\dots <i_k}{(P{f}_{i_1\dots i_k}(X))}^2.$$

Здесь и далее $X_{i_1\dots i_k}$ обозначаются матрицы, получаемые из $X$ вычеркиванием $i_1,\dots ,i_k$ строк и $i_1,\dots ,i_k$ столбцов, а $P{f}_{i_1\dots i_k}(X)-nфа\varphi$ фианы этих матриц,
$$P{f}_{i_1\dots i_k}(X)=\sqrt{\det X_{i_1\dots i_k}}=\frac{1}{k!}\sum _{j_1<\dots j_{n-k}}{\epsilon }_{i_1\dots i_k{j}_1\dots j_{n-k}}{x}_{j_1{j}_2\dots x_{j_{n-k-1}{j}_{n-k}},},$$

где $x_{ij}$ — элементы матрицы $X,(n-k$ — четные, так как $p_{2l+1}=0)$. Доказательство.

Для произвольной $n\times n$ матрицы $A$ введем матрицу $M$ с элементами $M_{ij}=A_{ij}-a_{ii}{\delta }_{ij}$. Приводя в выражении для детерминанта матрицы $A$ подобные слагаемые при произведениях диагональных элементов, получим равенство
$$\det A=\sum _{k=0}^n\sum _{1⩽i_1<\cdots <i_k⩽d}{a}_{i_1{i}_1}\dots a_{i_k{i}_k}\det M_{i_1\dots i_k}.$$

Применив его к матрице $X-\lambda E$ и учитывая, что $p_{2l+1}=0$, а определитель антисимметричной матрицы четного порядка равен полному квадрату некоторого полинома (называемого пфаффианом), получим утверждение леммы.
Следствие. Система уравнений $P{f}_{i_1\dots i_k}(X)=0$ задает $A{d}_{SO(n)}$-инвариантное подмногообразие в so(n).
Доказательство.
Из формулы (D.1) следует, что равенство $p_{n-k}=0$ эквивалентно равенству нулю каждого слагаемого, являющегося полным квадратом. Несложно также показать явно, что
$$\begin{array}{c}{\{x_{ij},P{f}_{l_1\dots l_k}(X)\}|}_{\{P{f}_{i_1\dots i_k}(X)=0\}}=0,\\ \mathrm{\forall }1⩽l_1<\dots l_k⩽n,1⩽i_1<\dots i_k⩽n.\end{array}$$

Используя коммутационные соотношения $\{x_{ij},x_{kl}\}={\delta }_{jk}{x}_{il}-$ — ${\delta }_{jl}{x}_{ik}+{\delta }_{il}{x}_{jk}-{\delta }_{ik}{x}_{jl}$, можно убедиться, что существует три различных случая.

1) Если $(i,j)\subset \{l_1,\dots l_k\}$, то равенство (D.2) выполняется, так как $P{f}_{l_1\dots l_k}(X)$ не зависит от тех $x_{kl}$, с которыми $x_{ij}$ не коммутирует.
2) Если $(i,j)ot\subset \{l_1,\dots l_k\}$, то $x_{ij}$ принадлежит подалгебре $so(n-k)$, для которой $P{f}_{i_1\dots i_k}(X)$ — функция Казимира, и коммутация (D.2) заведомо выполнена (не только для $Pf=0$.)
3) Если $j\subset \{l_1,\dots l_k\},iot\subset \{l_1,\dots l_k\}$, то, полагая $j=l_p$, можно показать, что $\{x_{i{l}_p},P{f}_{l_1\dots l_p\dots l_k}\}=\pm P{f}_{l_1\dots l_p\dots l_k}$, и на уровне $P{f}_{l_1\dots l_k}=0$ обращается в ноль.

Замечание 1. Приведенное доказательство инвариантности многообразия $P{f}_{i_1\dots i_k}=0$ может быть обобщено для тех алгебр, у которых $p_{n-k}$ не является суммой полных квадратов (например $so(n,m)$ ).

Сформулируем еще одно полезное утверждение, доказательство которого можно найти в [204].
Теорема 1. Рассмотрим алгебру ко(d), реализованную антисимлетричными матрицами: $X\in \mathrm{so}(d),X^T+X=0$.

Пусть $p_{d-k}$ — полный набор ее функций Казимира, являющихся коэффициентами характеристического многочлена $\det (X-\lambda I)=$ $=\sum _k{p}_{d-k}{\lambda }^k$.
Уравнения
$$\{\begin{array}{l}{p}_2=c_2\\ \dots \dots \\ p_{2n-2k}=c_{2n-2k}\\ P{f}_{i_1\dots i_l}(X)=0,\end{array}$$

где $l=2k-2$, при $d=2n$, и $l=2k-1$, при $d=2n+1$, задают вложение в во $(d)$ следующих типов сингулярных орбит коприсоединенного представления группы $SO(d)$ :

1) $SO(d)/SO(2k+1)\times SO(2{)}^{n-k},d=2n+1$,
2) $SO(d)/SO(2k)\times SO(2{)}^{n-k},d=2n$.

В качестве примера рассмотрим алгебру $so(5)$. Ее элемент $X\in so(5)$ может быть представлен в виде
$$X=\left(\begin{array}{ccccc}0& c_3& -c_2& a_1& b_1\\ -c_3& 0& c_1& a_2& b_2\\ c_2& -c_1& 0& a_3& b_3\\ -a_1& -a_2& -a_3& 0& d\\ -b_1& -b_2& -b_3& -d& 0\end{array}\right).$$

Для сокращения записи определим векторы $\mathbf{a}(a_1,a_2,a_3),\mathbf{b}(b_1,b_2,b_3)$, $\mathbf{c}(c_1,c_2,c_3)$.
В этом случае уравнения $P{f}_i(X)=0,i=1,\dots ,5$ имеют вид
$$(\mathbf{a},\mathbf{c})=0,(\mathbf{b},\mathbf{c})=0,\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{c}d=0.$$

Легко видеть, что два скалярных уравнения при $deq0$ следуют из векторного и вместе с уравнением $\mathrm{Tr}{X}^2=a^2+b^2+c^2+d^2=$ const система (D.3) определяет однопараметрическое семейство 6 -мерных вырожденных орбит вида $SO(5)/SO(3)\times SO(2)$. Однако для полного описания этого вложения (с учетом $d=0$ ) нужно рассматривать все пять уравнений (D.3).

2. Сингулярные орбиты $e(n)$. Как известно, группа $E(n)=$ $=SO(n){\otimes }_8{R}^n$ может быть реализована в матричном виде следующим образом:
$$U=\left(\begin{array}{cccc}& & & d_1\\ & SO(n)& & \cdots \\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),U\in E(n).$$

Соответствующая ей алгебра Ли $e(n)=so(n){\oplus }_s{R}^n$ образована матрицами вида
$$X=\left(\begin{array}{cccc}& & & y_1\\ & so(n)& & \cdots \\ & & & y_n\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Элемент из $f\in e^{\ast }(n)$ представим в виде пары $f=(\mu ,u)$, где $\mu \in$ $s{o}^{\ast }(n)\simeq so(n),u\in R_n^{\ast }=R_n$. Тогда $a{d}_{(x,y)}^{\ast }(\mu ,u)=([x,\mu ]-\frac{1}{2}y\wedge u,x^T(u))$. Все орбиты коприсоединенного действия группы $E(n)$ делятся на орбиты, проходящие через точки с нулевым вектором $y$ (топологически

устроенные так же как орбиты $SO(n)$ ), и орбиты, проходящие через точки с ненулевым $y$. Для описания явного вложения орбит второго типа в алгебры необходимо изучить структуру функций Казимира, которые описываются следующей леммой.

Лемма 2. Полный набор функций Казимира алгебры е(n) имеет вид:
$$p_{n-k}(x,y)=\sum _{1⩽i_1<\dots i_k⩽n}{(\sum _{1⩽j⩽n}P{f}_{i_1\dots j\dots i_k}(X)y_j)}^2,$$

где $X\in s{o}^{\ast }(n)\simeq so(n),y\in R^{n\ast }=R^n$.
Для доказательства достаточно применить метод «контрактирования» инвариантов к функциям Казимира алгебры $so(n+1)$, определяемым формулой (D.1).

Интересно отметить, что все функции Казимира будут квадратичными по «абелевым» координатам $y_j$.

Из (D.4) следует, что при $p_{n-k}=0$ выполнены равенства $\sum _{1⩽j⩽n}P{f}_{i_1\dots j\dots i_k}(X)y_j\equiv P{f}_{i_1\dots i_k}(X,y)=0,i_m=1,\dots ,n$ и размерность орбиты падает. Компоненты
$$W_{i_1\dots \dots i_k}(X,y)=\sum _{1⩽j⩽n}P{f}_{i_1\dots j\dots i_k}(X)y_j\equiv P{f}_{i_1\dots i_k}(X,y)$$

определяют многомерные аналоги вектора Паули-Любанского. Уравнения $W_{i_1\dots \dots i_k}(X,y)=0$ задают $A{d}_{E(n)}^{\ast }$-инвариантное подмногообразие в $e^{\ast }(n)$.

Справедливо следующее утверждение, доказательство которого также можно найти в [204].

Теорема 2. Рассмотрим алгебру е(d), реализованную матрицали вида
$$\left(\begin{array}{cc}X& y\\ 0& 0\end{array}\right)\text{, где }X\in so(d),y\in R^d.$$

Іусть $p_{d-a}$ — функции Казимира для группы $E^{\prime }(d)$, получаемые при помощи контракции из полного набора функций Казимира группы $SO(d+1)$ $p_{(d+1)-a}^{(d+1)}$ коэффициентов характеристического многочлена:
$$\det (\left(\begin{array}{cc}X& y\\ -y& 0\end{array}\right)-\lambda I)=\sum _a{p}_{(d+1)-a}^{(d+1)}{\lambda }^a,$$

$a$
$$P{f}_{i_1\dots j\dots i_l}(X)={\left(\det X_{i_1\dots j\dots i_l}\right)}^{1/2}.$$

Уравнения
$$\{\begin{array}{l}{p}_2=c_2\\ \cdots \dots \\ p_{2n-2k-2}=c_{2n-2k-2}\\ \sum _{1⩽j⩽n}P{f}_{i_1\dots j\dots i_l}(X)y_j=0,\end{array}$$

где $l=2k$ при $d=2n-1,l=2k+1$ при $d=2n$, задают вложение в $е(d)$ следующих типов сингулярных орбит коприсоединенного представления группы $E(d)$
1) $E(d)/R\times SO(2(k+1))\times SO(2{)}^{n-k-2},d=2n-1$,
2) $E(d)/R\times SO(2(k+1)+1)\times SO(2{)}^{n-k-2},d=2n$.
При $k=n-2$ орбиты имеют вид $E(d)/R\times SO(d-1)$ и являются кокасательными расслоениями $T^{\ast }{S}^{n-1}$. Эти орбиты являются орбитами минимальной размерности среди «неполупростых» (проходящих через точку с $yeq0$ ) и их вложение описывается только квадратичными функциями: квадратичной функцией Казимира $p_2$ и квадратичными пфаффианами.

3. Алгебра $e(4)$ и ее орбиты. Алгебра Ли $e(4)$ группы движений четырехмерного евклидова $E(4)$ пространства является полупрямой суммой $so(4){\oplus }_s{R}^4$ и может быть реализована матрицами вида
$$X=\left(\begin{array}{ccccc}0& L_3& -L_2& {\pi }_1& {\lambda }_1\\ -L_3& 0& L_1& {\pi }_2& {\lambda }_2\\ L_2& -L_1& 0& {\pi }_3& {\lambda }_3\\ -{\pi }_1& -{\pi }_2& -{\pi }_3& 0& {\lambda }_0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Для десяти ее образующих $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3),\mathbf{L}=(L_1,L_2,L_3),\lambda =$ $=({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3),{\lambda }_0$ справедливы коммутационные соотношения (см. [8])
$$\begin{array}{lll}\{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k,& \{L_i,{\pi }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\pi }_k,& \{{\pi }_i,{\pi }_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k,\\ \{L_i,{\lambda }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\lambda }_k,& \{L_i,{\lambda }_0\}=0,& \{{\pi }_i,{\lambda }_j\}=-{\delta }_{ij}{\lambda }_0,\\ \{{\pi }_i,{\lambda }_0\}={\lambda }_i,& \{{\lambda }_i,{\lambda }_j\}=\{{\lambda }_i,{\lambda }_0\}=0,& \end{array}$$

при всех $i,j,k$, принимающих значения $1,2,3$.

Скобка (D.5) является вырожденной и имеет две функции Казимиpa, фигурирующие в лемме 2. Из (D.4) получаем
$$F_1=p_2=\sum _{\mu =0}^3{\lambda }_{\mu }^2,F_2=p_4=\sum _{\mu =0}^3{W}_{\mu }^2,$$

где $W$ — четырехмерный вектор Паули-Любанского (точнее его евклидов аналог для е (4) — в классическом случае он определен для группы Пуанкаре).
$$W_0=(\mathit{\lambda },L),\mathbf{W}=\mathbf{L}{\lambda }_0+\mathit{\pi }\times \mathit{\lambda }.$$

Его коммутационные соотношения с образующими аналогичны коммутационным соотношениям для четырехмерного вектора $\lambda$ :
$$\begin{array}{lll}\{L_i,W_j\}={\epsilon }_{ijk}{W}_k,& \{L_i,W_0\}=0,& \{{\pi }_i,W_j\}={\delta }_{ij}{W}_0,\\ \{{\pi }_i,W_0\}=-W_i,& \{{\lambda }_{\mu },W_u\}=0,& \{W_{\mu },W_u\}=0.\end{array}$$

Общие уровни функций Казимира $F_1=c_1,F_2=c_2,c_i=$ const представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство ( $\mathbf{L},\mathit{\pi },\mathit{\lambda },{\lambda }_0$ ) на орбиты коприсоединенного представления группы $E(4)$.

В общем (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако при $c_1=0$ или при $c_2=0$ размерность орбиты падает на две единицы. Как было сказано выше, сингулярная орбита при $c_{1}eq0,c_2=0$ гомеоморфна (ко)касательному расслоению трехмерной сферы $T{S}^3\left(T^{\ast }{S}^3\right)$, и для векторов $\mathbf{L},\pi$ выполняются соотношения
$$(\mathit{\lambda },\mathbf{L})=0,\mathbf{L}{\lambda }_0+\mathit{\pi }\times \mathit{\lambda }=0.$$

Скобка Ли-Пуассона (D.5) определяет гамильтонову систему в фазовом пространстве переменных $x=(\mathbf{L},\mathit{\pi },\mathit{\lambda },{\lambda }_0)$
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{L}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}\times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial \pi }\times \pi +\frac{\partial H}{\partial \lambda }\times \lambda ,\\ \dot{\mathit{\pi }}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}\times \pi +\frac{\partial H}{\partial \pi }\times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial {\lambda }_0}\lambda -{\lambda }_0\frac{\partial H}{\partial \lambda },\\ {\dot{\lambda }}_0=-(\lambda ,\frac{\partial H}{\partial \pi }),\\ \dot{\lambda }=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}\times \lambda +{\lambda }_0\frac{\partial H}{\partial \pi }.\end{array}$$

Здесь $H=H(\mathbf{L},\pi ,\lambda ,{\lambda }_0)$ — функция Гамильтона. Уравнения (D.10) на каждой орбите (регулярной или сингулярной) могут быть записаны (по теореме Дарбу) в обычной канонической форме.

Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, приведенные в $\S 2$ гл. 2 (2.9) записаны для иного представления $e(4)$, соответствующего каноническому разложению подалгебры $so(4)\simeq$ $\simeq so(3)\oplus so(3)$. Для перехода к нему следует ввести новые переменные $\mathbf{M},\mathbf{N}$ по формулам
$$\mathbf{M}=\frac{1}{2}(\mathit{\pi }-\mathbf{L}),\mathbf{N}=\frac{1}{2}(\mathit{\pi }+\mathbf{L}).$$

В этом случае алгебра (D.5) разлагается на две семимерные изоморфные пересекающиеся подалгебры. Ранг пуассоновой структуры каждой подалгебры равен шести, и они имеют один и тот же аннулятор $F_1=\sum {\lambda }_{\mu }^2$.
Коммутационные соотношения для подалгебры ( $\mathbf{M},\lambda )$ :
$$\{M_i,M_j\}=-{\epsilon }_{ijk}{M}_k,\{M_i,{\lambda }_0\}=\frac{1}{2}{\lambda }_i,\{M_i,{\lambda }_j\}=-\frac{1}{2}({\epsilon }_{ijk}{\lambda }_k+{\delta }_{ij}{\lambda }_0),$$

и подалгебры (N, $\lambda$ ):
$$\{N_i,N_j\}={\epsilon }_{ijk}{N}_k,\{N_i,{\lambda }_0\}=\frac{1}{2}{\lambda }_i,\{N_i,{\lambda }_j\}=\frac{1}{2}({\epsilon }_{ijk}{\lambda }_k-{\delta }_{ij}{\lambda }_0).$$

В этих переменных инвариантные соотношения (D.9) имеют вид
$$\begin{array}{c}(\mathbf{N}-\mathbf{M}){\lambda }_0+(\mathbf{N}+\mathbf{M})\times \mathit{\lambda }=0\\ (\mathbf{N}-\mathbf{M},\mathit{\lambda })=0.\end{array}$$

С помощью кватернионного умножения они записываются еще короче: $\mathbf{M}={\lambda }^{-1}\mathbf{N}\lambda$ (механический смысл этих соотношений проясняется в $\mathrm{\S }2$ гл. 1). На орбите $T^{\ast }{S}^3$ справедливы также выражения
$$\begin{array}{l}\pi =2({\lambda }_0\mathit{\lambda }\times \mathbf{M}+\mathit{\lambda }(\mathbf{M},\mathit{\lambda })+{\lambda }_0^2\mathbf{M}),\\ \mathbf{L}=2({\lambda }_0\mathit{\lambda }\times \mathbf{M}+\mathit{\lambda }(\mathbf{M},\mathit{\lambda })-{\mathit{\lambda }}^2\mathbf{M}).\end{array}$$

Замечание. Сингулярные орбиты алгебры $u(n)$ также могут быть описаны при помощи изложенной конструкции. Действительно, ${\mathbb{C}}^n$ над полем вещественных чисел изоморфно ${\mathbb{R}}^{2n}$, поэтому существует естественное вложение $u(n)\subset so(2n)$. Это позволяет для описания орбит использовать инварианты $so(2n)$ (D.1). Можно показать, что сингулярные орбиты минимальной размерности задаются матрицами ранга 1. Интерпретация таких орбит с точки зрения отображения момента содержится в $\mathrm{\S }6$ гл. 4.