В этом приложении приведем в более систематической форме сведения о сингулярных орбитах коприсоединенного представления групп Ли $S O(n)$ и $E(n)$. Как было показано в гл. 2,3 гамильтоновы системы на сингулярных орбитах алгебры $e(4)$ естественно возникают в различных механических и физических задачах. При изложении результатов, касающихся многомерных обобщений сингулярных орбит $s o(n)$ и $e(n)$, мы будем в основном следовать работе [204].

1. Сингулярные орбиты $s o(n)$. Рассмотрим алгебру Ли $s o(n)$, реализованную как алгебра антисимметричных матриц:

Как известно, орбиты присоединенного представления алгебры $s o(n)$ (изоморфного для полупростой алгебры коприсоединенному) задаются в $R^{N},\left(N=\frac{n(n-1)}{2}\right)$ как совместные поверхности уровня системы функций Казимира
\[
S_{k}=\operatorname{Tr} X^{k} .
\]

Иногда вместо этой системы удобно рассматривать эквивалентную систему функций, а именно — коэффициенты $p_{k}$ характеристического многочлена:
\[
\Delta_{X}(\lambda)=|X-\lambda E|=\lambda^{n}-p_{1} \lambda^{n-1}-p_{2} \lambda^{n-2}-\ldots-p_{n} .
\]

Переход от первой системы ко второй осуществляется при помощи формулы $p_{k}=S_{k}-p_{1} S_{k-1}-\ldots-p_{k-1} S_{1}$. Для $s o(n)$ справедливо соотношение $S_{2 k+1}=\operatorname{Tr} X^{2 k+1}=0$, из которого следует, что $p_{2 k+1}=0$ и
\[
p_{2}=\frac{1}{2} S_{2}, \quad p_{4}=S_{4}-\frac{1}{2} S_{2}^{2}, \quad p_{6}=S_{6}-\frac{1}{4} S_{2} S_{4}+\frac{1}{8} S_{2}^{2}, \ldots
\]

Лемма 1. Для $X \in \operatorname{so}(n)$ имеет место соотношение
\[
p_{n-k}=(-1)^{k} \sum_{i_{1}<\ldots<i_{k}}\left|X_{i_{1} \ldots i_{k}}\right|=(-1)^{k} \sum_{i_{1}<\ldots<i_{k}}\left(P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X)\right)^{2} .
\]

Здесь и далее $X_{i_{1} \ldots i_{k}}$ обозначаются матрицы, получаемые из $X$ вычеркиванием $i_{1}, \ldots, i_{k}$ строк и $i_{1}, \ldots, i_{k}$ столбцов, а $P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X)-n ф а \phi$ фианы этих матриц,
\[
P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X)=\sqrt{\operatorname{det} X_{i_{1} \ldots i_{k}}}=\frac{1}{k !} \sum_{j_{1}<\ldots j_{n-k}} \varepsilon_{i_{1} \ldots i_{k} j_{1} \ldots j_{n-k}} x_{j_{1} j_{2} \ldots x_{j_{n-k-1} j_{n-k}},},
\]

где $x_{i j}$ — элементы матрицы $X,\left(n-k\right.$ — четные, так как $\left.p_{2 l+1}=0\right)$. Доказательство.

Для произвольной $n \times n$ матрицы $A$ введем матрицу $M$ с элементами $M_{i j}=A_{i j}-a_{i i} \delta_{i j}$. Приводя в выражении для детерминанта матрицы $A$ подобные слагаемые при произведениях диагональных элементов, получим равенство
\[
\operatorname{det} A=\sum_{k=0}^{n} \sum_{1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant d} a_{i_{1} i_{1}} \ldots a_{i_{k} i_{k}} \operatorname{det} M_{i_{1} \ldots i_{k}} .
\]

Применив его к матрице $X-\lambda E$ и учитывая, что $p_{2 l+1}=0$, а определитель антисимметричной матрицы четного порядка равен полному квадрату некоторого полинома (называемого пфаффианом), получим утверждение леммы.
Следствие. Система уравнений $P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X)=0$ задает $A d_{S O(n)}$-инвариантное подмногообразие в so(n).
Доказательство.
Из формулы (D.1) следует, что равенство $p_{n-k}=0$ эквивалентно равенству нулю каждого слагаемого, являющегося полным квадратом. Несложно также показать явно, что
\[
\begin{array}{c}
\left.\left\{x_{i j}, P f_{l_{1} \ldots l_{k}}(X)\right\}\right|_{\left\{P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X)=0\right\}}=0, \\
\forall 1 \leqslant l_{1}<\ldots l_{k} \leqslant n, 1 \leqslant i_{1}<\ldots i_{k} \leqslant n .
\end{array}
\]

Используя коммутационные соотношения $\left\{x_{i j}, x_{k l}\right\}=\delta_{j k} x_{i l}-$ — $\delta_{j l} x_{i k}+\delta_{i l} x_{j k}-\delta_{i k} x_{j l}$, можно убедиться, что существует три различных случая.

1) Если $(i, j) \subset\left\{l_{1}, \ldots l_{k}\right\}$, то равенство (D.2) выполняется, так как $P f_{l_{1} \ldots l_{k}}(X)$ не зависит от тех $x_{k l}$, с которыми $x_{i j}$ не коммутирует.
2) Если $(i, j)
ot \subset\left\{l_{1}, \ldots l_{k}\right\}$, то $x_{i j}$ принадлежит подалгебре $s o(n-k)$, для которой $P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X)$ — функция Казимира, и коммутация (D.2) заведомо выполнена (не только для $P f=0$.)
3) Если $j \subset\left\{l_{1}, \ldots l_{k}\right\}, i
ot \subset\left\{l_{1}, \ldots l_{k}\right\}$, то, полагая $j=l_{p}$, можно показать, что $\left\{x_{i l_{p}}, P f_{l_{1} \ldots l_{p} \ldots l_{k}}\right\}= \pm P f_{l_{1} \ldots l_{p} \ldots l_{k}}$, и на уровне $P f_{l_{1} \ldots l_{k}}=0$ обращается в ноль.

Замечание 1. Приведенное доказательство инвариантности многообразия $P f_{i_{1} \ldots i_{k}}=0$ может быть обобщено для тех алгебр, у которых $p_{n-k}$ не является суммой полных квадратов (например $s o(n, m)$ ).

Сформулируем еще одно полезное утверждение, доказательство которого можно найти в [204].
Теорема 1. Рассмотрим алгебру ко(d), реализованную антисимлетричными матрицами: $X \in \operatorname{so}(d), X^{T}+X=0$.

Пусть $p_{d-k}$ — полный набор ее функций Казимира, являющихся коэффициентами характеристического многочлена $\operatorname{det}(X-\lambda I)=$ $=\sum_{k} p_{d-k} \lambda^{k}$.
Уравнения
\[
\left\{\begin{array}{l}
p_{2}=c_{2} \\
\ldots \ldots \\
p_{2 n-2 k}=c_{2 n-2 k} \\
P f_{i_{1} \ldots i_{l}}(X)=0,
\end{array}\right.
\]

где $l=2 k-2$, при $d=2 n$, и $l=2 k-1$, при $d=2 n+1$, задают вложение в во $(d)$ следующих типов сингулярных орбит коприсоединенного представления группы $S O(d)$ :

1) $S O(d) / S O(2 k+1) \times S O(2)^{n-k}, d=2 n+1$,
2) $S O(d) / S O(2 k) \times S O(2)^{n-k}, d=2 n$.

В качестве примера рассмотрим алгебру $s o(5)$. Ее элемент $X \in s o(5)$ может быть представлен в виде
\[
X=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & c_{3} & -c_{2} & a_{1} & b_{1} \\
-c_{3} & 0 & c_{1} & a_{2} & b_{2} \\
c_{2} & -c_{1} & 0 & a_{3} & b_{3} \\
-a_{1} & -a_{2} & -a_{3} & 0 & d \\
-b_{1} & -b_{2} & -b_{3} & -d & 0
\end{array}\right) .
\]

Для сокращения записи определим векторы $\mathbf{a}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \mathbf{b}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$, $\mathbf{c}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$.
В этом случае уравнения $P f_{i}(X)=0, i=1, \ldots, 5$ имеют вид
\[
(\mathbf{a}, \mathbf{c})=0, \quad(\mathbf{b}, \mathbf{c})=0, \quad \mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{c} d=0 .
\]

Легко видеть, что два скалярных уравнения при $d
eq 0$ следуют из векторного и вместе с уравнением $\operatorname{Tr} X^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=$ const система (D.3) определяет однопараметрическое семейство 6 -мерных вырожденных орбит вида $S O(5) / S O(3) \times S O(2)$. Однако для полного описания этого вложения (с учетом $d=0$ ) нужно рассматривать все пять уравнений (D.3).

2. Сингулярные орбиты $e(n)$. Как известно, группа $E(n)=$ $=S O(n) \otimes_{8} R^{n}$ может быть реализована в матричном виде следующим образом:
\[
U=\left(\begin{array}{cccc}
& & & d_{1} \\
& S O(n) & & \cdots \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad U \in E(n) .
\]

Соответствующая ей алгебра Ли $e(n)=s o(n) \oplus_{s} R^{n}$ образована матрицами вида
\[
X=\left(\begin{array}{cccc}
& & & y_{1} \\
& s o(n) & & \cdots \\
& & & y_{n} \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Элемент из $f \in e^{*}(n)$ представим в виде пары $f=(\mu,
u)$, где $\mu \in$ $s o^{*}(n) \simeq s o(n),
u \in R_{n}^{*}=R_{n}$. Тогда $a d_{(x, y)}^{*}(\mu,
u)=\left([x, \mu]-\frac{1}{2} y \wedge
u, x^{T}(
u)\right)$. Все орбиты коприсоединенного действия группы $E(n)$ делятся на орбиты, проходящие через точки с нулевым вектором $y$ (топологически

устроенные так же как орбиты $S O(n)$ ), и орбиты, проходящие через точки с ненулевым $y$. Для описания явного вложения орбит второго типа в алгебры необходимо изучить структуру функций Казимира, которые описываются следующей леммой.

Лемма 2. Полный набор функций Казимира алгебры е(n) имеет вид:
\[
p_{n-k}(x, y)=\sum_{1 \leqslant i_{1}<\ldots i_{k} \leqslant n}\left(\sum_{1 \leqslant j \leqslant n} P f_{i_{1} \ldots j \ldots i_{k}}(X) y_{j}\right)^{2},
\]

где $\quad X \in s o^{*}(n) \simeq s o(n), y \in R^{n *}=R^{n}$.
Для доказательства достаточно применить метод «контрактирования» инвариантов к функциям Казимира алгебры $s o(n+1)$, определяемым формулой (D.1).

Интересно отметить, что все функции Казимира будут квадратичными по «абелевым» координатам $y_{j}$.

Из (D.4) следует, что при $p_{n-k}=0$ выполнены равенства $\sum_{1 \leqslant j \leqslant n} P f_{i_{1} \ldots j \ldots i_{k}}(X) y_{j} \equiv P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X, y)=0, i_{m}=1, \ldots, n$ и размерность орбиты падает. Компоненты
\[
W_{i_{1} \ldots \ldots i_{k}}(X, y)=\sum_{1 \leqslant j \leqslant n} P f_{i_{1} \ldots j \ldots i_{k}}(X) y_{j} \equiv P f_{i_{1} \ldots i_{k}}(X, y)
\]

определяют многомерные аналоги вектора Паули-Любанского. Уравнения $W_{i_{1} \ldots \ldots i_{k}}(X, y)=0$ задают $A d_{E(n)}^{*}$-инвариантное подмногообразие в $e^{*}(n)$.

Справедливо следующее утверждение, доказательство которого также можно найти в [204].

Теорема 2. Рассмотрим алгебру е(d), реализованную матрицали вида
\[
\left(\begin{array}{cc}
X & y \\
0 & 0
\end{array}\right) \text {, где } X \in s o(d), y \in R^{d} .
\]

Іусть $p_{d-a}$ — функции Казимира для группы $E^{\prime}(d)$, получаемые при помощи контракции из полного набора функций Казимира группы $S O(d+1)$ $p_{(d+1)-a}^{(d+1)}$ коэффициентов характеристического многочлена:
\[
\operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{cc}
X & y \\
-y & 0
\end{array}\right)-\lambda I\right)=\sum_{a} p_{(d+1)-a}^{(d+1)} \lambda^{a},
\]

$a$
\[
P f_{i_{1} \ldots j \ldots i_{l}}(X)=\left(\operatorname{det} X_{i_{1} \ldots j \ldots i_{l}}\right)^{1 / 2} .
\]

Уравнения
\[
\left\{\begin{array}{l}
p_{2}=c_{2} \\
\cdots \ldots \\
p_{2 n-2 k-2}=c_{2 n-2 k-2} \\
\sum_{1 \leqslant j \leqslant n} P f_{i_{1} \ldots j \ldots i_{l}}(X) y_{j}=0,
\end{array}\right.
\]

где $l=2 k$ при $d=2 n-1, l=2 k+1$ при $d=2 n$, задают вложение в $е(d)$ следующих типов сингулярных орбит коприсоединенного представления группы $E(d)$
1) $E(d) / R \times S O(2(k+1)) \times S O(2)^{n-k-2}, d=2 n-1$,
2) $E(d) / R \times S O(2(k+1)+1) \times S O(2)^{n-k-2}, d=2 n$.
При $k=n-2$ орбиты имеют вид $E(d) / R \times S O(d-1)$ и являются кокасательными расслоениями $T^{*} S^{n-1}$. Эти орбиты являются орбитами минимальной размерности среди «неполупростых» (проходящих через точку с $y
eq 0$ ) и их вложение описывается только квадратичными функциями: квадратичной функцией Казимира $p_{2}$ и квадратичными пфаффианами.

3. Алгебра $e(4)$ и ее орбиты. Алгебра Ли $e(4)$ группы движений четырехмерного евклидова $E(4)$ пространства является полупрямой суммой $s o(4) \oplus_{s} R^{4}$ и может быть реализована матрицами вида
\[
X=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & L_{3} & -L_{2} & \pi_{1} & \lambda_{1} \\
-L_{3} & 0 & L_{1} & \pi_{2} & \lambda_{2} \\
L_{2} & -L_{1} & 0 & \pi_{3} & \lambda_{3} \\
-\pi_{1} & -\pi_{2} & -\pi_{3} & 0 & \lambda_{0} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Для десяти ее образующих $\pi=\left(\pi_{1}, \pi_{2}, \pi_{3}\right), \mathbf{L}=\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right), \lambda=$ $=\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), \lambda_{0}$ справедливы коммутационные соотношения (см. [8])
\[
\begin{array}{lll}
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, & \left\{L_{i}, \pi_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \pi_{k}, & \left\{\pi_{i}, \pi_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, \\
\left\{L_{i}, \lambda_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}, & \left\{L_{i}, \lambda_{0}\right\}=0, & \left\{\pi_{i}, \lambda_{j}\right\}=-\delta_{i j} \lambda_{0}, \\
\left\{\pi_{i}, \lambda_{0}\right\}=\lambda_{i}, & \left\{\lambda_{i}, \lambda_{j}\right\}=\left\{\lambda_{i}, \lambda_{0}\right\}=0, &
\end{array}
\]

при всех $i, j, k$, принимающих значения $1,2,3$.

Скобка (D.5) является вырожденной и имеет две функции Казимиpa, фигурирующие в лемме 2. Из (D.4) получаем
\[
F_{1}=p_{2}=\sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu}^{2}, \quad F_{2}=p_{4}=\sum_{\mu=0}^{3} W_{\mu}^{2},
\]

где $W$ — четырехмерный вектор Паули-Любанского (точнее его евклидов аналог для е (4) — в классическом случае он определен для группы Пуанкаре).
\[
W_{0}=(\boldsymbol{\lambda}, L), \mathbf{W}=\mathbf{L} \lambda_{0}+\boldsymbol{\pi} \times \boldsymbol{\lambda} .
\]

Его коммутационные соотношения с образующими аналогичны коммутационным соотношениям для четырехмерного вектора $\lambda$ :
\[
\begin{array}{lll}
\left\{L_{i}, W_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} W_{k}, & \left\{L_{i}, W_{0}\right\}=0, & \left\{\pi_{i}, W_{j}\right\}=\delta_{i j} W_{0}, \\
\left\{\pi_{i}, W_{0}\right\}=-W_{i}, & \left\{\lambda_{\mu}, W_{
u}\right\}=0, & \left\{W_{\mu}, W_{
u}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Общие уровни функций Казимира $F_{1}=c_{1}, F_{2}=c_{2}, c_{i}=$ const представляют собой симплектические листы, расслаивающие фазовое пространство ( $\mathbf{L}, \boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{\lambda}, \lambda_{0}$ ) на орбиты коприсоединенного представления группы $E(4)$.

В общем (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако при $c_{1}=0$ или при $c_{2}=0$ размерность орбиты падает на две единицы. Как было сказано выше, сингулярная орбита при $c_{1}
eq 0, c_{2}=0$ гомеоморфна (ко)касательному расслоению трехмерной сферы $T S^{3}\left(T^{*} S^{3}\right)$, и для векторов $\mathbf{L}, \pi$ выполняются соотношения
\[
(\boldsymbol{\lambda}, \mathbf{L})=0, \quad \mathbf{L} \lambda_{0}+\boldsymbol{\pi} \times \boldsymbol{\lambda}=0 .
\]

Скобка Ли-Пуассона (D.5) определяет гамильтонову систему в фазовом пространстве переменных $x=\left(\mathbf{L}, \boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{\lambda}, \lambda_{0}\right)$
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{L}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}} \times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial \pi} \times \pi+\frac{\partial H}{\partial \lambda} \times \lambda, \\
\dot{\boldsymbol{\pi}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}} \times \pi+\frac{\partial H}{\partial \pi} \times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial \lambda_{0}} \lambda-\lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \lambda}, \\
\dot{\lambda}_{0}=-\left(\lambda, \frac{\partial H}{\partial \pi}\right), \\
\dot{\lambda}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}} \times \lambda+\lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \pi} .
\end{array}
\]

Здесь $H=H\left(\mathbf{L}, \pi, \lambda, \lambda_{0}\right)$ — функция Гамильтона. Уравнения (D.10) на каждой орбите (регулярной или сингулярной) могут быть записаны (по теореме Дарбу) в обычной канонической форме.

Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой, приведенные в $§ 2$ гл. 2 (2.9) записаны для иного представления $e(4)$, соответствующего каноническому разложению подалгебры $s o(4) \simeq$ $\simeq s o(3) \oplus s o(3)$. Для перехода к нему следует ввести новые переменные $\mathbf{M}, \mathbf{N}$ по формулам
\[
\mathbf{M}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}-\mathbf{L}), \quad \mathbf{N}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\pi}+\mathbf{L}) .
\]

В этом случае алгебра (D.5) разлагается на две семимерные изоморфные пересекающиеся подалгебры. Ранг пуассоновой структуры каждой подалгебры равен шести, и они имеют один и тот же аннулятор $F_{1}=\sum \lambda_{\mu}^{2}$.
Коммутационные соотношения для подалгебры ( $\mathbf{M}, \lambda)$ :
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k},\left\{M_{i}, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{i},\left\{M_{i}, \lambda_{j}\right\}=-\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}+\delta_{i j} \lambda_{0}\right),
\]

и подалгебры (N, $\lambda$ ):
\[
\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k},\left\{N_{i}, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{i},\left\{N_{i}, \lambda_{j}\right\}=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}-\delta_{i j} \lambda_{0}\right) .
\]

В этих переменных инвариантные соотношения (D.9) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
(\mathbf{N}-\mathbf{M}) \lambda_{0}+(\mathbf{N}+\mathbf{M}) \times \boldsymbol{\lambda}=0 \\
(\mathbf{N}-\mathbf{M}, \boldsymbol{\lambda})=0 .
\end{array}
\]

С помощью кватернионного умножения они записываются еще короче: $\mathbf{M}=\lambda^{-1} \mathbf{N} \lambda$ (механический смысл этих соотношений проясняется в $\S 2$ гл. 1). На орбите $T^{*} S^{3}$ справедливы также выражения
\[
\begin{array}{l}
\pi=2\left(\lambda_{0} \boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{M}+\boldsymbol{\lambda}(\mathbf{M}, \boldsymbol{\lambda})+\lambda_{0}^{2} \mathbf{M}\right), \\
\mathbf{L}=2\left(\lambda_{0} \boldsymbol{\lambda} \times \mathbf{M}+\boldsymbol{\lambda}(\mathbf{M}, \boldsymbol{\lambda})-\boldsymbol{\lambda}^{2} \mathbf{M}\right) .
\end{array}
\]

Замечание. Сингулярные орбиты алгебры $u(n)$ также могут быть описаны при помощи изложенной конструкции. Действительно, $\mathbb{C}^{n}$ над полем вещественных чисел изоморфно $\mathbb{R}^{2 n}$, поэтому существует естественное вложение $u(n) \subset s o(2 n)$. Это позволяет для описания орбит использовать инварианты $s o(2 n)$ (D.1). Можно показать, что сингулярные орбиты минимальной размерности задаются матрицами ранга 1. Интерпретация таких орбит с точки зрения отображения момента содержится в $\S 6$ гл. 4.