1. Системы Вольтерра и квадратичные скобки. Рассмотрим пример из математической биологии, связанный с анализом ситуации хищник-жертва [49], в котором естественно возникают квадратичные и кубичные скобки Пуассона.

В гл. 4 был рассмотрен частный случай трехмерной системы Јотки-Вольтерра, который оказался изоморфным интегрируемой задаче о движении трех точечных вихрей. Более общие однородные $n$-мерные системы Вольтерра* могут быть записаны в виде
\[
\dot{x}_{i}=x_{i}\left(\sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}\right), \quad i=1, \ldots, n,
\]

где $A=\left\|a_{i j}\right\|$ – произвольная $n$-мерная матрица. Отметим, прежде всего, что уравнения (4.1) сохраняют инвариантную меру с плотностью
\[
m(\mathbf{x})=\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\alpha_{i}-1}
\]

тогда и только тогда, когда существует такой вектор $\alpha$, что $\mathbf{A}^{T} \alpha=$ $=-\operatorname{diag}(\mathbf{A})$, где $\operatorname{diag} \mathbf{A}=\left(a_{11}, \ldots, a_{n n}\right)$. Исследование гамильтоновости систем (4.1) выполнено в [304]. Однако, результаты этого анализа не являются окончательными.

В [304] разобраны частные случаи системы (4.1), представимые в виде уравнений Гамильтона со скобкой Пуассона, задаваемой квадратичным структурным тензором вида
\[
\left\{x_{i}, x_{j}\right\}=c_{i j} x_{i} x_{j} .
\]

Легко проверить, что тождество Якоби для тензора (4.2) выполняется тогда и только тогда, когда матрица $\left\|c_{i j}\right\|$ кососимметрическая. Это также следует из возможности приведения структурного тензора (4.2) к постоянному координатным преобразованием $x_{i}=e^{u_{i}}$.

Центральными функциями структуры (4.2) являются выражения вида
\[
\left.\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \ln x_{i} \quad \text { (или } \prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\alpha_{i}}\right),
\]

где $\alpha=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ – собственный вектор матрицы $\left\|c_{i j}\right\|$, соответствующий нулевому собственному числу.

В качестве гамильтонианов, порождающих на скобке (4.2) уравнения (4.1), в [304] рассмотрены следующие функции
\[
\begin{array}{l}
\text { 1. } H=\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} x_{i}, \quad \beta_{i} \in \mathbb{R}, \\
\text { 2. } H=\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\alpha_{i}}\left(\sum_{l=1}^{n} B_{l} x_{l}\right), \quad \alpha_{i}, B_{i} \in \mathbb{R} .
\end{array}
\]

В первом случае (восходящем к Вольтерра [49]) гамильтоновы уравнения сводятся к (4.1) без замены времени, во втором случае необходимо ввести новое время $d \tau=\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\alpha_{i}} d t$ (это преобразование приводит, вообще говоря, к потере гамильтоновости).

Составляя уравнения движения с гамильтонианом (4.3) и сравнивая их с (4.1), можно заметить, что должны выполняться соотношения
\[
c_{i j}=\frac{a_{i j}}{\beta_{j}}=-\frac{a_{j i}}{\beta_{i}}=-c_{j i} .
\]

Это условие заведомо выполнено для систем, описываемых уравнениями
\[
\dot{x}_{i}=\Gamma_{i} x_{i}\left(x_{i+1}-x_{i-1}\right) \quad i=1, \ldots, n
\]

в непериодическом $\left(x_{1}=x_{n+1}=0\right.$ ) и периодическом $\left(x_{i+n}=x_{i}\right.$ ) случаях. Например, в периодическом случае матрицу $\left\|c_{i j}\right\|$ можно представить в виде
\[
\left\|c_{i j}\right\|=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & \Gamma_{1} \Gamma_{2} & & 0 & \ldots & -\Gamma_{1} \Gamma_{n} \\
-\Gamma_{1} \Gamma_{2} & 0 & \Gamma_{2} \Gamma_{3} & & & \\
& -\Gamma_{2} \Gamma_{3} & 0 & & & \\
& & & \ddots & & \\
& & & & 0 & \Gamma_{n-1} \Gamma_{n} \\
\Gamma_{1} \Gamma_{n} & 0 & \ldots & & -\Gamma_{n-1} \Gamma_{n} & 0
\end{array}\right),
\]

а гамильтониан $H=\sum_{i=1}^{n} \Gamma_{i}^{-1} x_{i}$.
Структурный тензор $J_{i j}$ в этом случае является вырожденным и имеет функции Казимира:
при $n$ четном ( $n=2 k$ )
\[
I_{1}=\prod_{i=1}^{k} x_{2 i}^{\Gamma_{2 i}^{-1}}, \quad I_{2}=\prod_{i=1}^{k} x_{2 i-1}^{\Gamma_{2 i-1}^{-1}},
\]

при $n$ нечетном $(n=2 k+1)$
\[
\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{\Gamma_{i}^{-1}}
\]

Вследствие существования этих функций Казимира, система (4.5) является вполне интегрируемой при $n \leqslant 4$ и любых $\Gamma_{i}$. Отметим также,

что она всегда обладает $n$-мерным интегральным инвариантом с плотностью $\prod_{i=1}^{n} x_{i}^{-1}$. При $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}=\cdots=\Gamma_{n}$ система (4.5) является интегрируемой для любой размерности. Для нечетного $n=2 k+1$ полный набор инволютивных интегралов найден комбинаторными методами в работе [252], а представление Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром без ограничения на четность $n$ приведено в [18]. При $n=2 k$ система (4.5) также интегрируется, если
\[
\Gamma_{1}=\Gamma_{3}=\cdots=\Gamma_{2 k}=\alpha, \quad \Gamma_{2}=\Gamma_{4}=\cdots=\Gamma_{2 k}=\beta .
\]

Этот случай сводится к предыдущему при помощи замены
\[
\bar{x}_{2 k}=\beta x_{2 k}, \quad \bar{x}_{2 k+1}=\alpha x_{2 k+1} .
\]

Замечание 1. Интегрируемыми являются также системы вида
\[
\dot{x}_{i}=x_{i}\left(\sum_{k=1}^{m} x_{i+k}-\sum_{k=1}^{m} x_{i-k}\right) .
\]

при произвольном $m \leqslant n$.
Квадратичная скобка в этом случае имеет вид $\left\{x_{i+1}, x_{i}\right\}=x_{i+1} x_{i}, \ldots$, $\left\{x_{i+m}, x_{i}\right\}=x_{i+m} x_{i}$. Представление Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром приведено в [18].

Квадратичные алгебры, определяемые структурным тензором (4.2), не исчерпывают всех возможностей гамильтоновой записи системы (4.1) при соответствующих ограничениях на матрицу $\left\|a_{i j}\right\|$. Так, в §5 гл. 1 был рассмотрен восходящий к С. В. Ковалевской пример трехмерной системы типа (4.1), допускающий представление в виде уравнений Гамильтона на трехмерной алгебре Ли.

Изложим, с некоторыми модификациями, другую конструкцию, предложенную в $[18,48]$, приводящую к кубической зависимости структурного тензора от фазовых переменных.

2. Кубичная скобка Пуассона. Рассмотрим гамильтонову систему вида
\[
\dot{b}_{i}=\sum_{i=1}^{n} \mu_{i j} \frac{\partial H}{\partial b_{j}}, \quad H=\ln \prod_{j=0}^{n} b_{j}^{k_{j}},
\]

определяемую постоянным кососимметрическим тензором $\left\|\mu_{i j}\right\|$ и постоянным вещественным вектором $\left(k_{0}, \ldots, k_{n}\right)$.

Введем избыточные координаты $y_{i j}=a_{i} a_{j},(i
eq j)$, где $a_{i}=b_{i}^{-1}$ (при этом $y_{i j}=y_{j i}$ ). Скобка Пуассона переменных $y_{i j}$ может быть записана в виде
\[
\left\{y_{i j}, y_{k l}\right\}=y_{i j} y_{k l}\left(\mu_{j l} y_{j l}+\mu_{j k} y_{j k}+\mu_{i l} y_{i l}+\mu_{i k} y_{i k}\right) .
\]

Она является вырожденной и обладает двумя наборами центральных функций. Первый набор обусловлен избыточностью переменных $y_{i j}$. Действительно, формулы обратного перехода от переменных $y_{i j}$ к переменным $a_{k}$ имеют неоднозначный вид
\[
a_{i}^{2}=\frac{y_{i j} y_{k i}}{y_{j k}}
\]

для произвольных $j, k \in \mathbb{N}$. Соотношение (4.8) для $n(n-1) / 2$ переменных $y_{i j}$ порождает $n(n-3) / 2$ центральных функций вида
\[
F_{i}=y_{i j} y_{k i} y_{l m} y_{i m}^{-1} y_{l i}^{-1} y_{j k}^{-1} .
\]

Во второй набор входят аннуляторы пуассоновой структуры $\left\|\mu_{i j}\right\|$. Они имеют вид $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} b_{i}$, где $\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ – собственный вектор матрицы $\left\|\mu_{i j}\right\|$, соответствующий нулевому собственному числу.

Гамильтониан системы (4.6) в новых переменных может быть представлен в виде
\[
H=\sum_{i, j} n_{i j} \ln y_{i j},
\]

где числа $2 n_{i j}$ представляют собой линейные комбинации чисел $k_{i}$ из (4.6) с целыми коэффициентами.

Как несложно проверить непосредственно, гамильтонова система со скобкой Пуассона (4.7) и функцией Гамильтона (4.9) представляет собой частный случай системы (4.1). Например, в случае $\mu_{i j}
eq 0$ для любой комбинации $i$ и $j$ в переменных $x_{i j}=\mu_{i j} y_{i j}$ эти уравнения имеют вид [18]
\[
\dot{x}_{i j}=x_{i j}\left(\sum_{s=0}^{n} k_{s}\left(x_{i s}+x_{j s}\right)\right) .
\]

Если какие-либо $\mu_{k l}=0$, то соответствующий набор условий $x_{k l}=0$ задает систему инвариантных соотношений для уравнений (4.10).

Ограничение потока на эти инвариантные соотношения также будет гамильтоновым на подалгебре алгебры скобок Пуассона (4.7), соответствующей тем $y_{i j}$, для которых $\mu_{i j}
eq 0$.

Обычная периодическая цепочка Вольтерра (4.5) при дополнительном условии $\Gamma_{i}=1, i=1, \ldots, n$, получается от (4.10), если отличны от нуля лишь $\mu_{i, i+1}$. Переход к переменным (4.5) задается уравнениями $x_{k}=x_{k, k+1}$.

Уравнения (4.10) на инвариантных многообразиях $x_{k l}$ при ограничениях на коэффициенты $k_{i}$ эквивалентны интегрируемым цепочкам Богоявленского (4.14) (см. далее). Интересно было бы изучить условия интегрируемости общей системы (4.10) с помощью метода Ковалевской.

3. Интегрируемые цепочки, связанные с простыми алгебрами Ли. Пусть $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ – набор простых корней некоторой простой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ (коалгебру будем обозначать $\mathfrak{g}^{*}$ ). Дополним его элементом $\boldsymbol{\omega}_{0}=-\boldsymbol{\Omega}$, где $\boldsymbol{\Omega}$ – максимальный корень, то есть такая линейная комбинация
\[
\boldsymbol{\Omega}=k_{1} \boldsymbol{\omega}_{1} \ldots k_{n} \boldsymbol{\omega}_{n}, \quad k_{i}>0, \quad i=1, \ldots, n,
\]

для которой $\boldsymbol{\Omega}+l_{1} \omega_{1}+\cdots+l_{n} \omega_{n}$ не является корнем при любых $l_{i} \geqslant 0$.
Для пополненного набора выполняется соотношение
\[
k_{0} \omega_{0}+\cdots+k_{n} \boldsymbol{\omega}_{n}=0, \quad k_{0}=1, k_{i}>0, i=1, \ldots, n .
\]

Корням $\boldsymbol{\omega}_{0}, \ldots, \boldsymbol{\omega}_{n}$ – соответствует пополненная схема Дынкина $[18]$.

С помощью формы Киллинга поставим в соответствие корням $\boldsymbol{\omega}_{i}\left(\boldsymbol{\omega}_{i} \in \mathfrak{g}^{*}\right)$ элементы алгебры $\boldsymbol{e}_{\omega_{i}} \in \mathfrak{g}$ и определим на $\mathfrak{g}^{*}$ постоянную скобку (скобку сдвига аргумента)(см. §10 гл. 2)
\[
\{f, g\}_{\mathbf{a}}=\langle\mathbf{a},[d f, d g]\rangle
\]

где $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – скалярное произведение, задаваемое формой Киллинга, а элемент $\mathbf{a} \in \mathfrak{g}$ определяется по формуле
\[
\mathbf{a}=\sum_{i, j=0}^{n} m_{i j}\left[\mathbf{e}_{\boldsymbol{\omega}_{i}}, \mathbf{e}_{\boldsymbol{\omega}_{j}}\right], \quad m_{i j}=\text { const. }
\]

В этом случае пространство функций, определенных на линейной оболочке корней $\omega_{0}, \ldots, \omega_{n}$, является замкнутым относительно скобки (4.12).

О.И.Богоявленским было показано, что гамильтонова система со скобкой (4.12) и гамильтонианом
\[
H=\sum_{i=0}^{n} \ln b_{i}^{k_{i}}, \quad \text { (где } k_{i} \text { определяется уравнением (4.11)) }
\]

допускает представление Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром $\lambda$ вида
\[
\begin{aligned}
L & =\lambda \sum_{i=0}^{n} b_{i} \mathbf{e}_{\boldsymbol{\omega}_{i}}+\frac{1}{2} \sum_{i, j=0}^{n} m_{i j}\left[\mathbf{e}_{\boldsymbol{\omega}_{i}}, \mathbf{e}_{\boldsymbol{\omega}_{i}}\right] \\
A & =\lambda \sum_{i=0}^{n} k_{i} b_{i}^{-1} \mathbf{e}_{\boldsymbol{\omega}_{i}} .
\end{aligned}
\]

То есть системы (4.14) со скобкой (4.12) являются интегрируемыми случаями системы(4.6).
Для алгебры $A_{n}$ явный вид матриц следующий
\[
\mathbf{L}=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & \lambda b_{1} & m_{12} & & & 0 \\
& 0 & \lambda b_{2} & m_{23} & & \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & & & m_{n-2, n-1} \\
m_{n-1, n} & & & & & \lambda b_{n-1} \\
\lambda b_{n} & m_{1 n} & & \cdots & & 0
\end{array}\right),
\]

4. Бигамильтоновость. Отметим, что система Вольтерра типа (4.5), интегрируемая при $\Gamma_{1}=\cdots=\Gamma_{n}$, может быть записана в гамильтоновой форме как со скобкой Пуассона (4.2), так и со скобкой (4.7) – по классификации Картана [8] она соответствует простой

алгебре Ли $A_{n}$. В переменных $x_{i}$ (4.5) квадратичная скобка (4.2) имеет вид (для периодической цепочки необходимо положить $x_{n+1}=x_{1}$ ):
\[
\left\{x_{i}, x_{i+1}\right\}=x_{i} x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n,
\]

а функция Гамильтона
\[
H=\sum_{i=1}^{n} x_{i} .
\]

Кубичная скобка (4.7) может быть представлена в форме
\[
\begin{array}{l}
\left\{x_{i}, x_{i+1}\right\}=x_{i} x_{i+1}\left(x_{i}+x_{i+1}\right), \\
\left\{x_{i}, x_{i+2}\right\}=x_{i} x_{i+1} x_{i+2} .
\end{array}
\]

Соответствующий гамильтониан согласно (4.14) имеет вид
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i-=1}^{n} \ln x_{i} .
\]

Эти две скобки являются согласованными, что позволяет установить полноту интегралов движения при помощи теоремы §5 гл. 1.

Бигамильтоново описание других интегрируемых цепочек Богоявленского, связанных с простыми алгебрами Ли, до сих пор, видимо, не получено.

Замечание 2. Системы Вольтерра, которые могут быть записаны в градиентной форме, изучались в работах $[43,302]$. Вообще говоря, градиентная форма записи не противоречит гамильтоновости. Хорошо известно, что уравнения динамики точечных вихрей на плоскости допускают запись в обеих формах. Градиентная форма записи используется для исследования геометрии изоспектрального многообразия и связана с идеей двойного скобочного представления уравнений движения [195].

5. Метод $r$-матрицы. Общие замечания. Одним из способом доказательства интегрируемости, построения $\mathbf{L}$ – $\mathbf{A}$-пары и явного решения, отмеченный в гл. 1 является метод $r$-матрицы. Он является обобщением более специальной схемы интегрирования, разработанной Адлером, Константом и Симсом (AKS-метод) и широко представлен в работах ленинградской математической школы $[132,139,141,146]$.

В обзоре [132] метод $r$-матрицы изложен в приложении к обобщенным цепочкам Тоды и римановым симметрическим парам, возникающим в многомерной динамике твердого тела. В этих случаях существование $r$-матрицы связано с определенной симметрией алгебры (соответственно, с разложением на прямую сумму алгебр $g=g_{+} \oplus g_{-}$ или картановским разложением $g=H \oplus V,[H, H] \subset H,[H, V] \subset V$, $[V, V] \subset H)$ и определяемой этим возможностью проектирования векторных полей. Для римановых симметрических пар метод $r$-матрицы почти полностью эквивалентен конструкции, изложенной в §10 гл. 2 и связанной с бигамильтоновостью интегрируемой системы. Отметим также, что $r$-матричное представление индуцирует несколько другую пуассонову иерархию на алгебрах петель [132].

Для цепочек Тоды квадратичная и кубичная пуассонова структура получена при помощи $r$-матричного подхода в [298] (см. также [275]). Общая схема возникновения квадратичных скобок из унитарных $r$-матриц была указана в [146] и связана с формализмом «групп Гамильтона – Ли», изложенного В.Г.Дринфельдом [9].

В работе [322] рассматривается $r$-матричный подход в применении к системам Вольтерра, а в [184] построены динамические $r$-матрицы (с коэффициентами, зависящими от фазовых переменных) для систем Калоджеро-Мозера.
Тем не менее, отметим некоторые недостатки метода $r$-матрицы:
1. $r$-матрица не является тензорным инвариантом и не имеет прозрачного динамического смысла.
2. Решение «модифицированного» уравнения Янга-Бакстера, определяющего $r$-матрицу, известного лишь в исключительных случаях (см. например, [132]).

Эти недостатки обуславливают, отчасти, то обстоятельство, что для нахождения $r$-матрицы надо использовать другие, более естественные способы обнаружения интегрируемости – метод явного построения $\mathbf{L}$ – $\mathbf{A}$-пары при помощи подходящих абзацев, метод проектирования и пр. Эта «вторичность» $r$-матричного подхода приводит к тому, что интегрируемость новых систем им, как правило, не устанавливается. Примером могут служить обобщенные цепочки Тоды, цепочки Вольтерра (и обобщения Богоявленского). Для цепочек КалоджероМозера вопрос об интегрируемости для всех корневых систем стоял почти два десятилетия, пока не был решен при помощи явных анзатцев [226]. Их $r$-матричное описание [192] оказалось настолько искусственным, что вполне показало ограниченность $r$-матричного алгоритма

для решения конкретных задач. Аналогичная ситуация имеет место для бесконечномерной системы Хитчина [251], получающейся из расширенной свободной системы при помощи гамильтоновой редукции.

Несомненно, что изучение динамического (инвариантного) происхождения $r$-матрицы, имеющей пока только формально-алгебраическое содержание, и ее связи с другими конструкциями (например, бигамильтоновостью) является очень естественным. Это тем более необходимо для развития методов качественного анализа для многомерных систем, где существование дополнительных тензорных инвариантов приводит к реальным динамическим эффектам (см. [77]), которые совершенно не могут быть получены из комплексно-алгебраической процедуры интегрирования, развиваемой, например, в [309].