Рассмотрим на сфере систему $N$ точечных вихрей одинаковой интенсивности $\Gamma_{i}=\Gamma, i=1, \ldots, N$. В абсолютных переменных уравнения движения приведены в $\S 2$ гл. 4 (2.7).

В данном случае система инвариантна относительно дискретной группы перестановок вихрей, и, следовательно, допускает различные симметричные частные решения. Рассмотрим те из них, которые являются аналогами хорошо известных томсоновских конфигураций на плоскости. Вихри при этом расположены на одной широте $\theta_{0}$, в углах правильного $N$-угольника и вращаются вокруг его центра с угловой скоростью $\omega$ :
\[
\begin{array}{c}
\theta_{i}=\theta_{0}=\text { const, } \quad \varphi_{i}=\omega\left(\theta_{0}\right) t+\frac{2 \pi}{N}(i-1), \\
\omega\left(\theta_{0}\right)=\frac{\Gamma(N-1)}{4 \pi R^{2}} \frac{\operatorname{ctg} \theta_{0}}{\sin \theta_{0}} .
\end{array}
\]

Рассмотрим устойчивость этих частных решений в линейном приближении [184]. Для этого выберем вариации $\delta \theta_{i}$ и $\delta \varphi_{i}$ в виде:
\[
\theta_{i}=\theta_{0}+\delta \theta_{i}, \quad \varphi_{i}=\omega\left(\theta_{0}\right) t+\frac{2 \pi}{N}(i-1)+\delta \varphi_{i} .
\]

Линеаризованные уравнения для $\delta \theta_{i}$ и $\delta \varphi_{i}$ автономны и имеют вид:
\[
\left\{\begin{aligned}
\delta \dot{\theta}_{k} & =\frac{\Gamma}{4 \pi R^{2}} \frac{1}{2 \sin \theta_{0}} A_{k i} \delta \varphi_{i}, \\
\sin \theta_{0} \delta \dot{\varphi}_{k} & =\frac{\Gamma}{4 \pi R^{2}} \frac{1}{2 \sin ^{2} \theta_{0}} A_{k i} \delta \vartheta_{i}-\frac{\Gamma(N-1)}{4 \pi R^{2}} \frac{1+\cos ^{2} \theta_{0}}{\sin ^{2} \theta_{0}} \delta \theta_{k},
\end{aligned}\right.
\]

здесь $A-(N \times N)$-матрица с элементами
\[
A_{k i}=\delta_{k i} \sum_{m=1}^{N-1} \frac{1}{\sin ^{2} \frac{\pi}{N} m}-\left(1-\delta_{k i}\right) \frac{1}{\sin ^{2} \frac{\pi}{N}(k-i)} .
\]

Дифференцированием по времени уравнения (G.2) могут быть приведены к системе $N$ уравнений второго порядка следующего вида:
\[
\delta \ddot{\varphi}_{k}=\left(\frac{\Gamma}{8 \pi R^{2} \sin ^{2} \theta_{0}}\right)^{2}\left(A_{k j}-2(N-1)\left(1+\cos ^{2} \theta_{0}\right) \delta_{k j}\right) A_{j i} \delta \varphi_{i} .
\]
(Аналогичные же уравнения получаются для $\theta_{k}$ при исключении $\varphi_{k}$ ).
Решение уравнения (G.5) имеет вид
\[
\delta \varphi_{k}=\sum_{m} C_{k}^{(m)} e^{\Omega_{m} t}
\]

где константы $C_{k}^{(m)}, \Omega_{m}$ выражаются через собственные числа и векторы матрицы $A_{k i}$.

Элементы $A_{k i}$ зависят только от разностей $(k-i)$, вследствие чего матрица $A$ диагонализуется преобразованием Фурье. Собственные значения матрицы представимы в виде
\[
\lambda_{m}=2 m(N-m), \quad m=0,1, \ldots,[N / 2] .
\]

Каждому собственному значению соответствует 2 собственных вектора $\phi_{i}^{(m)}=\cos \left(\frac{2 \pi m}{N} i\right)$ и $\psi_{i}^{(m)}=\sin \left(\frac{2 \pi m}{N} i\right), i=1, \ldots, N$. В случае четного $N$ значениям $m=0$ и $m=N / 2$, а в случае нечетного $N$ только значению $m=0$, соответствует единственный собственный вектор $\phi_{i}^{(m)}[184]$.
Используя (G.5), (G.6), находим частоты $\Omega_{m}$
\[
\begin{aligned}
\Omega_{m} & =\frac{\Gamma}{8 \pi R^{2} \sin ^{2} \theta_{0}}\left(\lambda_{m}-2(N-1)\left(1+\cos ^{2} \theta_{0}\right)\right)^{1 / 2} \lambda_{m}^{1 / 2}= \\
& =\frac{\Gamma(m(N-m))^{1 / 2}}{4 \pi R^{2} \sin ^{2} \theta_{0}}\left(m(N-m)-(N-1)\left(1+\cos ^{2} \theta_{0}\right)\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Наличие нулевой частоты (G.7) при $m=0$ соответствует абсолютной неустойчивости томсоновских конфигураций. Действительно, при возмущениях $\delta \theta_{i}, \delta \varphi_{i}$, соответствующих $m=0$, конфигурация (G.1) переходит в близкую томсоновскую конфигурацию, которая удаляется от исходной линейно по времени. При этом устойчивость относительного движения вихрей определяется оставшимися частотами. Для относительной устойчивости необходимо, чтобы оставшимиеся $\Omega_{m}$ были

чисто мнимыми [165]. Как видно из (G.7) при приближении к экватору конфигурации (2.3) теряют устойчивость.

Отдельного рассмотрения требует случай $\theta_{0}=\pi / 2$, когда томсоновские конфигурации становятся статическими $(\omega(\pi / 2)=0$ ). Как видно из (G.7) при этом для $N=2,3$ все частоты $\Omega_{m}$ равны нулю.

При $N=2$ устойчивость статических конфигураций следует из сохранения расстояния между вихрями во время их движения ( $§ 3$ гл. 4). При $N=3$ условие неустойчивости томсоновских конфигураций, найденное в § 3 гл. 4, (3.43), не выполнено, и статические конфигурации являются устойчивыми. Для $N \geqslant 2$ статические конфигурации являются неустойчивыми, т. к. появляется частота $\Omega_{m}$ с положительной вещественной частью.

Таким образом, справедливо следующее обобщение теоремы Томсона об устойчивости правильных $N$-угольных конфигураций вихрей на сфере.

Теорема 1. Правильные $N$-угольные конфигурации вихрей на сфере:

1. Iри $N \geqslant 8$ неустойчивы в линейном приближении;
2. По сравнению с плоским случаем при $N=7$ добавление кривизны нарушает устойчивость;
3. При приближении к экватору (или, что тоже самое, увеличении кривизны) конфигурации (G.7) с $N=4,5$ и 6 последовательно теряют устойчивость. Предельные широты устойчивости $\theta_{0}^{*}$ определяются формулами
\[
\begin{array}{lll}
N=4 & n p u & \cos ^{2} \theta_{0}^{*}=\frac{1}{3}, \\
N=5 & n p u & \cos ^{2} \theta_{0}^{*}=\frac{1}{2}, \\
N=6 & \text { npu } & \cos ^{2} \theta_{0}^{*}=\frac{4}{5} .
\end{array}
\]

4. Конфигурации с $N=2,3$ являются устойчивыми в линейном приближении.

Замечание 1. Устойчивость при $\theta_{0}=\theta_{0}^{*}$ требует отдельного анализа с учетом нелинейных слагаемых.