Изучим перестройки поверхностей уровня первых интегралов ( $\$ 6$ гл. 2)
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+2 K_{3}^{2}\right)+\frac{c}{2}\left(s_{2}^{2}-s_{1}^{2}\right), \\
K & =\left(K_{1}^{2}-K_{2}^{2}-c s_{3}^{2}\right)+4 K_{1}^{2} K_{2}^{2}, \\
F_{2} & =(\mathbf{s}, \mathbf{K}) s_{3}=g
\end{aligned}
\]

уравнений движения (Q29) §5 гл. 2. Как отмечено в §5,6 гл. 2, эта система может рассматриваться как аналог случая Ковалевской при наличии двух однородных полей и при значении константы интеграла $F_{2}$ равной нулю сводится к частному случаю интегрируемости Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Этот анализ, по просьбе авторов, был выполнен О. Е. Орел и П. Е. Рябовым [301]. Мы изложим его в несколько укороченном виде.

Рассмотрим сначала случай Чаплыгина (при этом $F_{2}=0$ и алгебра скобок (5.10) является обычной алгеброй $e(3)$ ). Симплектический лист задается уравнениями $F_{2}=0, F_{1}=(\mathbf{s}, \mathbf{s})=1$ и гомеоморфен $\mathcal{T} S^{2}$.

Топологический тип изоэнергетической поверхности $Q_{h}^{3}=\{H=h\}$ можно изучать при помощи проекции $\mathcal{T} S^{2}$ на сферу Пуассона $S^{2}=$ $=\left\{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}=1\right\}$ (см. [159]). В данной задаче при этой проекции поверхность $Q_{h}^{3}$ переходит в некоторую область на сфере Пуассона, выделяемую условием
\[
\varphi(s) \leqslant h,
\]

где $\varphi(s)$ – функция на сфере Пуассона, заданная формулой
\[
\varphi(s)=\frac{1}{2}\left(s_{1}^{2}-s_{2}^{2}\right) .
\]

Напомним, что эта область называется областью возможности движения (ОВД). Для различных значений $h$ ОВД имеет следующий вид: область пуста при $h<-1 / 2$, имеет вид двух дисков при $-1 / 2<h<0$,

кольца при $0<h<1 / 2$ и совпадает со всей сферой при $h>1 / 2$. Это означает, что при $h<-1 / 2$ поверхность $Q_{h}^{3}$ пуста, при $-1 / 2<h<0$ она состоит из двух $S^{3}$. При $0<h<1 / 2$ изоэнергетическая поверхность гомеоморфна $S^{1} \times S^{2}$, а при $h>1 / 2$ она гомеоморфна $\mathbb{R} P^{3}$.

Уравнения бифуркационной диаграммы находятся из условия зависимости градиентов $
abla H,
abla K,
abla F_{1}$ и $
abla F_{2}$. Эти уравнения имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
K=0, \\
K=(2 H-1)^{2}, \quad H \geqslant 0, \\
K=(2 H+1)^{2}, \quad H \geqslant-\frac{1}{2} .
\end{array}
\]

Последние два уравнения могут быть получены по-другому. В работе [163] найдено преобразование, разделяющее переменные. В новых переменных $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ динамическая система выглядит следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\lambda}_{1}=\sqrt{2\left(\lambda_{1}^{2}-1\right)\left(\lambda_{1}-\beta\right)}, \\
\dot{\lambda}_{2}=\sqrt{2\left(1-\lambda_{2}^{2}\right)\left(\alpha-\lambda_{2}\right)},
\end{array}
\]

где $\alpha=2 h-\sqrt{k}, \beta=2 h+\sqrt{k}, K=k=$ const. Это разделяющее преобразование вырождается при $k=0$, поэтому условие кратности корней одного из полиномов
\[
P_{1}=\left(\lambda^{2}-1\right)(\lambda-\beta), \quad P_{2}=\left(1-\lambda^{2}\right)(\alpha-\lambda)
\]

дает только часть бифуркационной диаграммы (кроме кривой $K=0$ ).
Бифуркационная диаграмма построена на рис. 76. Там же отмечено количество торов в каждой из областей, на которые бифуркационная диаграмма разбивает образ отображения момента. Количество торов можно найти, анализируя формулы перехода от координат (K, s) к координатам $\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}\right)$.

Топологический анализ показывает, что при переходе к случаю $g
eq 0$ некоторые топологические характеристики обобщенной задачи (как, например, вид бифуркационной диаграммы) меняются непрерывно, а некоторые (такие как топологический тип поверхности $Q_{h}^{3}$ ) изменяются резко, скачком.

Действительно, можно показать, что ОВД на сфере Пуассона описывается функцией
\[
\varphi_{g}(s)=\frac{1}{2}\left(s_{1}^{2}-s_{2}^{2}+\frac{g^{2}}{2-s_{3}^{2}}+\frac{g^{2}}{s_{3}^{2}}\right),
\]

Рис. 76

которая при $g=0$ дает функцию $\varphi(s)$. Наличие переменной $s_{3}$ в знаменателе при $g
eq 0$ говорит о том, что для любого значения $h$ ОВД исключает окружность $s_{3}=0$, тем самым поверхность $Q_{h}^{3}$ всегда состоит по крайней мере из двух несвязных кусков.

Исследование морсовских особенностей этой функции при $g
eq 0$ дает следующую картину: ОВД пусто при $h<h(g)$, имеет вид четырех дисков (два в области $s_{3}>0$ и два в области $s_{3}<0$ ) при $h(g)<h<g^{2}$ или двух дисков (по одному в каждой из областей $s_{3}>0$ и $s_{3}<0$ ) при $g^{2}<h$. Здесь разделяющая кривая $h(g)$ задается параметрически:
\[
h=\frac{1-3 t^{4}}{4 t^{2}}, \quad g=\frac{1-t^{4}}{2 t}, \quad t \in[-1,0) \cup(0,1] .
\]

Топологический тип поверхности и разделяющие кривые изображены в плоскости $(g, h)$ на рис. 77 .

Бифуркационную диаграмму получим из условия зависимости градиентов $
abla H,
abla K,
abla F_{1}$ и $
abla F_{2}$ (разделяющие переменные при $g
eq 0$ до сих пор не найдены). Можно показать, что она является частью поверхности кратных корней любого из следующих полиномов:
\[
\begin{array}{l}
P_{1}=a_{4} t^{4}+a_{3} t^{3}+a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{0}, \\
P_{2}=b_{4} t^{4}+b_{3} t^{3}+b_{2} t^{2}+b_{1} t+b_{0},
\end{array}
\]

Рис. 77

где
\[
\begin{array}{l}
a_{4}=(1+\beta)^{2}, \\
a_{3}=-2\left(\alpha \beta+\beta^{2}+\alpha+3 \beta-8 g^{2}+2\right), \\
a_{2}=\alpha^{2}+4 \alpha \beta+\beta^{2}+6(\alpha+\beta+1)+4 g^{2}(\beta-2 \alpha-9), \\
a_{1}=-2\left(\alpha^{2}+\alpha \beta+3 \alpha+\beta+2 g^{2}(\beta-3 \alpha-6)+2\right), \\
a_{0}=(1+\alpha)^{2}+4 g^{2}\left(g^{2}-\alpha-1\right), \\
b_{4}=(1-\alpha)^{2}, \\
b_{3}=-2\left(\alpha^{2}+\alpha \beta-3 \alpha-\beta+8 g^{2}+2\right), \\
b_{2}=\alpha^{2}+4 \alpha \beta+\beta^{2}-6(\alpha+\beta-1)+4 g^{2}(\alpha-2 \beta+9), \\
b_{1}=-2\left(\alpha \beta+\beta^{2}-\alpha-3 \beta+2 g^{2}(\alpha-3 \beta+6)+2\right), \\
b_{0}=(1-\beta)^{2}+4 g^{2}\left(g^{2}-\beta+1\right) .
\end{array}
\]

Здесь по-прежнему $\alpha=2 h-\sqrt{k}, \beta=2 h+\sqrt{k}$.
На рис. 78 указано также количество торов в различных областях образа отображения момента: 0,2 или 4 . При $g \rightarrow 0$ эта бифуркационная диаграмма постепенно превращается в диаграмму для классического случая. Однако количество торов в некоторых областях удваивается. Это можно объяснить тем, что некоторые торы, пересекающие при $g=0$ окружность $s_{3}=0$ в проекции на сферу Пуассона, «перерезаются» этой окружностью на два тора при $g
eq 0$.

Бифуркационная диаграмма и построенные в [301] топологические инварианты позволяют утверждать, что рассматриваемая задача (являющаяся аналогом случая Ковалевской) и классический случая Ковалевской не являются топологически (а также траекторно) эквивалентными. Поэтому эти две задачи являются существенно разными и не могут быть получены друг из друга при помощи аналитического (гладкого) преобразования (включая замену времени вдоль траектории). Интересно было бы сравнить результаты методов качественного анализа для обеих задач [77].