1. Скобки Пуассона и их свойства. Многие задачи динамики допускают запись в гамильтоновой форме
\[
\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}, \quad \dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}, \quad H=H(\mathbf{p}, \mathbf{q}),
\]

где канонические координаты ( $\mathbf{q}, \mathbf{p}$ ) определены на некотором четномерном многообразии $(\mathbf{q}, \mathbf{p}) \in M^{2 n}$ – фазовом пространстве $(\operatorname{dim} M=n)$. Функция $H$ называется гамильтонианом. Если ввести скобку Пуассона двух функций $F$ и $G$ по формуле
\[
\{F, G\}=\sum_{i}\left(\frac{\partial F}{\partial q_{i}} \frac{\partial G}{\partial p_{i}}-\frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}\right),
\]

то уравнения (1.1) можно переписать в виде
\[
\dot{q}_{i}=\left\{q_{i}, H\right\}, \quad \dot{p}_{i}=\left\{p_{i}, H\right\} .
\]

Любая дифференцируемая функция $F=F(\mathbf{q}, \mathbf{p})$ также эволюционирует по гамильтонову закону:
\[
\dot{F}=\{F, H\} .
\]

Классическое изложение гамильтоновой механики, основанное на теории производящих функций и канонических преобразований координат $(\mathbf{q}, \mathbf{p})$ не является инвариантным относительно произвольных координатных преобразований. Поэтому при инвариантном построении гамильтонова формализма (следуя П. Дираку) исходят из уравнений (1.3) и постулируют свойства скобок Пуассона, определенных для функций, заданных на некотором многообразии $M$ с координатами $\mathbf{x}=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$. Требуется, чтобы эти скобки удовлетворяли следующим условиям:

$1^{\circ} .\left\{\lambda F_{1}+\mu F_{2}, G\right\}=\lambda\left\{F_{1}, G\right\}+\mu\left\{F_{2}, G\right\}, \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ – билинейность, $2^{\circ} .\{F, G\}=-\{G, F\}$ – кососимметричность,
$3^{\circ} .\left\{F_{1} F_{2}, G\right\}=F_{1}\left\{F_{2}, G\right\}+F_{2}\left\{F_{1}, G\right\}$ – правило Лейбница,
$4^{\circ}$. $\{\{H, F\}, G\}+\{\{G, H\}, F\}+\{\{F, G\}, H\}=0$ – тождество Якоби.
Скобку Пуассона $\{\cdot, \cdot\}$ мы будем называть также пуассоновой структурой, а многообразие $M$, на котором она задана – пуассоновым.

В приведенном определении мы отказались от свойства невырожденности, (т. е. $\forall F(\mathbf{x})
eq$ const, $\exists G
eq$ const, $\{F, G\}
eq 0$ ), которое заложено в выражении (1.2), что позволяет, например, ввести скобку Пуассона для нечетномерных систем. При этом пуассонова структура может оказаться вырожденной и обладать функциями Казимира $F_{k}(\mathbf{x})$, коммутирующими со всеми переменными $x_{i}$ и, стало быть, с любыми функциями – $\forall G(\mathbf{x}),\left\{F_{k}, G\right\}=0$ (в литературе для функций Казимира употребляют также термины: аннуляторы, центральные функции, отмеченные функции и просто казимиры).

Свойства $1^{\circ}-4^{\circ}$ позволяют записать скобку Пуассона функций $F$ и $G$ в явном виде
\[
\{F, G\}=\sum_{i, j}\left\{x^{i}, x^{j}\right\} \frac{\partial F}{\partial x^{i}} \frac{\partial G}{\partial x^{j}} .
\]

Базисные скобки $J^{i j}=\left\{x^{i}, x^{j}\right\}$ называются структурными функциями пуассонова многообразия $M$ относительно данной, вообще говоря, локальной системы координат х [131]. Они образуют структурную матрицу (тензор) $J=\left\|J^{i j}\right\|$ размера $n \times n$. Если
\[
J=\left(\begin{array}{cc}
0 & E \\
-E & 0
\end{array}\right), \quad E=\left\|\delta_{i}^{j}\right\|,
\]

то получаем каноническую скобку Пуассона, определяемую формулой (1.2).
Структурная матрица $J^{i j}(\mathbf{x})$ обладает следующими свойствами:
a) кососимметричность:
\[
J^{i j}(\mathbf{x})=-J^{j i}(\mathbf{x}),
\]
б) тождество Якоби:
\[
\sum_{l=1}^{n}\left(J^{i l} \frac{\partial J^{j k}}{\partial x^{l}}+J^{k l} \frac{\partial J^{i j}}{\partial x^{l}}+J^{j l} \frac{\partial J^{k i}}{\partial x^{l}}\right)=0 .
\]

Легко видеть, что всякая постоянная кососимметрическая матрица $J^{i j}$ задает пуассонову структуру.

Инвариантный объект, определяемый тензором $J^{i j}$, является бивектором (бивекторным полем):
\[
J(d F, d G)=\sum J^{i j}(\mathbf{x}) \frac{\partial F}{\partial x^{i}} \wedge \frac{\partial G}{\partial x^{j}}
\]

где $d F$ – ковектор с компонентами $\frac{\partial F}{\partial x^{i}}$.
Векторное поле $X_{H}=\{\mathbf{x}, H\}$ определяет на многообразии гамильтонову систему, которая в компонентной записи имеет вид
\[
\dot{x}^{i}=\left(X_{H}\right)^{i}=\left\{x^{i}, H\right\}=\sum_{j} J^{i j}(x) \frac{\partial H}{\partial x^{j}} .
\]

Функция $H=H(x)$ при этом называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

Коммутатор векторных полей и скобки Пуассона связаны соотношением
\[
\left[X_{H}, X_{F}\right]=-X_{\{H, F\}} .
\]

Несложно также проверить, что любое гамильтоново поле порождает преобразование, сохраняющее скобки Пуассона.
Определение 1. Функция $F(x)$ называется первым интегралом системы, если ее производная вдоль системы равна нулю $\dot{F}=X_{H}(F)=0$ $\left(\left[X_{H}, X_{F}\right]=0\right)$, это условие эквивалентно тому, что $\{F, H\}=0$.

2. Невырожденная скобка. Симплектическая структуpa. Если скобка Пуассона является невырожденной, то ей однозначно сопоставляется замкнутая невырожденная 2 -форма. Действительно, для любой гладкой функции $F$ операция $X_{F}=\{F, \cdot\}$ является дифференцированием и задает некоторый касательный вектор на $M$. Все касательные векторы можно представить в таком виде. Определим 2 -форму $\omega^{2}$ по формуле
\[
\omega^{2}\left(X_{G}, X_{F}\right)=\{F, G\} .
\]

Из аксиом $1^{\circ}-4^{\circ}$ следует, что она билинейна, кососимметрична, невырождена и замкнута. Эта 2 -форма называется симплектической структурой, а многообразие $M$ – симплектическим многообразием. В общем случае форма $\omega^{2}$ имеет вид $\sum \omega_{i j} d x_{i} \wedge d x_{j}$, где $\left\|\omega_{i j}\right\|=\left\|J^{i j}\right\|^{-1}$, в каноническом случае (1.6) $\omega^{2}=\sum d p_{j} \wedge d q_{i}$. К такому виду по теореме Дарбу [3] приводится локально всякая симплектическая структура.

Обратно, невырожденная форма $\omega^{2}$ позволяет установить изоморфизм касательного $T_{x} M$ и кокасательного пространств: вектору $\xi \in T_{x} M$ ставится в соответствие 1 -форма $\omega_{\xi}^{1}(\eta)=\omega^{2}(\eta, \xi) \in T_{x}^{*} M$, где $\eta \in T_{x} M$. Пусть $I: T_{x}^{*} M \rightarrow T_{x} M$ – обратное отображение. Легко проверить, что скобка Пуассона двух функций $F, G$, заданная формулой $\{F, G\}=\omega^{2}(I d G, I d F)$ удовлетворяет условиям $1^{\circ}-4^{\circ}$ и условию невырожденности.

3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу. Если скобка Пуассона является вырожденной, то пуассоново многообразие (фазовое пространство) расслаивается на симплектические слои (листы), ограничение пуассоновой структуры на которые уже невырождено. Эти слои представляют собой общий уровень всех центральных функций и для них справедлива теорема Дарбу. Таким образом, на симплектическом слое мы вновь возвращаемся к ситуации стандартной канонической (симплектической) гамильтоновой механики. Однако, для приложений сведение к такой системе не всегда бывает необходимым, так как ведет к потере, например, алгебраичности дифференциальных уравнений и ограниченности применения геометрических методов исследования.

Рангом пуассоновой структуры в точке $\mathbf{x} \in M$ называется ранг структурного тензора в этой точке (очевидно, что он четен). Как правило, под рангом пуассоновой структуры на $M$ понимают максимальный ранг, который она имеет в некоторой точке $\mathbf{x} \in M$. Для симплектических многообразий ранг пуассоновой структуры в любой точке постоянен и максимален.

Сформулируем общую теорему Дарбу для произвольных (возможно вырожденных) пуассоновых многообразий. Доказательство этой теоремы восходит к Ли [278] и Дарбу, с более формальными рассуждениями можно ознакомиться по работе [334] (см. также [131]).

Теорема. Пусть $(M,\{\cdot, \cdot\})$ – пуассоново многообразие размерности $n$, и в точке $x \in M$ ранг скобки $\{\cdot, \cdot\}$ локально постоянен и равен $2 r$. Тодда существует локальная система (канонических) коорди-

нат $x_{1}, \ldots, x_{r}, y_{1}, \ldots, y_{r}, z_{1}, \ldots, z_{n-2 r}$, в которой скобки Пуассона имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left\{x_{i}, x_{j}\right\}=\left\{y_{i}, y_{j}\right\}=\left\{x_{i}, z_{k}\right\}=\left\{y_{i}, z_{k}\right\}=\left\{z_{k}, z_{l}\right\}=0, \\
\left\{x_{i}, y_{j}\right\}=\delta_{i j}, \\
\end{array}
\]

где $1 \leqslant i, j \leqslant r, \quad 1 \leqslant k, l \leqslant n-2 r$.
В указанных координатах симплектический лист задается уравнениями $z_{i}=c_{i},\left(c_{i}=\right.$ const $)$, а симплектическая структура на нем задается формой $\omega=d x_{i} \wedge d y_{i}$. Если в любой окрестности точки $x$ ранг не является локально постоянным, то теорема Дарбу уже не является справедливой. Одно из обобщений теоремы Дарбу для произвольной точки получено А. Вейнстейном [334] и будет рассмотрено в §9 гл. 1. Нормальные формы пуассоновых структур вблизи такой особой точки $x \in M$ обсуждаются в $[2,334]$.

4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки.

Определение 2. Пусть $\left(M,\{\cdot, \cdot\}_{M}\right),\left(N,\{\cdot, \cdot\}_{N}\right)$ – пуассоновы многообразия. Отображение $f: M \rightarrow N$ называется пуассоновым, если
\[
\{F(f(x)), G(f(x))\}_{M}=\{F, G\}_{N}(f(x))
\]

для любых функцй $F, G: N \rightarrow \mathbb{R}$ (т. е. отображение сохраняет скобку Пуассона).

Пусть $N \subset M$ – подмногообразие в пуассоновом многообразии. На $N$ можно определить скобку $\{\cdot, \cdot\}_{N}$ функций $F, G: N \rightarrow \mathbb{R}$ по формуле
\[
\{F, G\}_{N}=\left.\{\widetilde{F}, \widetilde{G}\}\right|_{N},
\]

где в правой части стоит ограничение скобки Пуассона двух функций $\widetilde{F}, \widetilde{G}$, являющихся гладкими продолжениями функций $F, G$ на объемлющее многообразие $M$.
Определение 3. Подмногообразие $N$ называется пуассоновым, если скобка $\{\cdot, \cdot\}_{N}$ не зависит от способа продолжения функций $F$ и $G$.
При этом отображение вложения $r: N \rightarrow M$ является пуассоновым.

Определение 4. Пуассонова структура $\{\cdot, \cdot\}_{N}$ на многообразии $N$, в общем случае содержащая константы, фиксирующие это подмногообразие в $M$, называется ограничением на $N$ скобки $\{\cdot, \cdot\}$.

Пуассоновость подмногообразия $N$ гарантирует для $\{\cdot, \cdot\}_{N}$ выполнение тождества Якоби. В случае, если скобка $\{\cdot, \cdot\}_{N}$ – невырождена, соответствующее подмногобразие называется невырожденным (симплектическим).

Несложно проверить, что поверхности уровня функций Казимира задают пуассоново подмногообразие, которое является невырожденным, если рассмотреть их общий регулярный уровень. Чтобы лучше понять устройство других пуассоновых подмногообразий, сформулируем простые утверждения, доказанные, например, в [131].
Предложение 1. Если $N$ – пуассоново подмногообразие, то для всякой функции $F: M \rightarrow \mathbb{R}$ векторное поле $X_{F}=\left.\{\cdot, F\}\right|_{N}$ касается $N$.
Предложение 2. Если $N$ задано в виде $N=\left\{x \in M, f_{i}(x)=0\right\}$, то для всякой функции $F: M \rightarrow \mathbb{R}$ выполнено $\left.\left\{f_{i}, F\right\}\right|_{N}=0$ (в частности, для координатных функций $\left.\left\{f_{i}, x_{j}\right\}\right|_{N}=0$ ).

С точки зрения динамики функции Казимира представляют собой первые интегралы, существующие у гамильтоновой системы (1.9) при любых функциях Гамильтона $H$. В общем случае пуассоновы подмногообразия представляют собой систему инвариантных соотношений динамической системы (1.9), также не зависящую от выбора гамильтониана. Симметрии, соответствующие этим функциям, содержатся полностью в пуассоновой структуре.

Само обобщение классической гамильтоновой системы (1.1) на случай вырожденного структурного тензора с динамической точки зрения эквивалентно рассмотрению систем, представление которых в каноническом виде не очевидно заранее, но возможно (локально – это следствие теоремы Дарбу) на общем уровне функций Казимира или существующих у данной системы инвариантных соотношений, определяющих невырожденное пуассоново подмногообразие.

5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами. Пусть на касательном расслоении $T M=(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})$ задана лагранжева динамическая система с лагранжианом $L$, содержащим члены, линейные по скоростям
\[
L=T+(f(\mathbf{q}), \dot{\mathbf{q}})+V(\mathbf{q}),
\]
$T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})$ – квадратичная по $\dot{\mathbf{q}}$ положительно-определенная форма кинетической энергии, $V(\mathbf{q})$ – потенциал. Линейные члены в (1.12) могут

возникать либо при наличии в системе гироскопических сил типа силы Лоренца, действующей на заряд в магнитном поле, либо в процессе понижения порядка по Раусу в системах, содержащих циклические координаты [129].
\[
\text { Два-форма } \Gamma=\sum_{i<j}\left(\frac{\partial f_{j}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial f_{i}}{\partial q_{j}}\right) d q_{i} \wedge d q_{j}=\sum g_{i j} d q_{i} \wedge d q_{j} \text { назы- }
\]

вается формой гироскопических сил. Она определена на конфигурационном пространстве $M=\{\mathbf{q}\}$ и является замкнутой. По лемме Пуанкаре, локально эта форма является точной, что может быть невыполнено глобально. В этом случае лагранжиан (1.12) не является глобально определенным на касательном расслоении (точнее, один-форма $\sum_{i} f_{i}(q) d q_{i}$ в лагранжиане (1.12) не определена глобально). Если перейти с помощью преобразования Лежандра от лагранжева формализма к гамильтонову, то полученный таким образом гамильтониан также не будет определен глобально на кокасательном расслоении (кроме случая, когда форма $\Gamma$ точна $\Gamma=d A$ ). Чтобы сохранить однозначность гамильтониана, можно выполнить преобразование Лежандра без учета в (1.12) линейных по $\dot{\mathbf{q}}$ членов. Это приведет к гамильтоновой системе с глобально определенным гамильтонианом (который полезно иметь для топологических исследований в «целом» [129]), однако к симплектической структуре $\omega^{2}=\sum d q_{i} \wedge d q_{j}$ добавится дополнительный (гироскопический) член $\Gamma=\sum g_{i j} d q_{i} \wedge d q_{j}$. В скобке Пуассона также появятся дополнительные слагаемые $\left\{q_{i}, q_{i}\right\}=0,\left\{q_{i}, p_{j}\right\}=\delta_{i}^{j},\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=g_{i j}(q)$. Включение гироскопических членов в скобку Пуассона было предложено Сурьо [319]. В работе [129] изложенные соображения применены к уравнениям Кирхгофа, что позволило явно выделить глобальные эффекты (типа «монополя Дирака») при приведении по Раусу уравнений движения на сферу Пуассона.

6. Скобка Ли-Пуассона. Другой важный пример пуассоновой структуры связан с алгебрами Ли. Пусть $c_{i j}^{k}$ – структурные константы алгебры $\mathfrak{g}$ в базисе $\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$. Скобка Ли-Пуассона ([278], т. 3, гл. $25, \S 115$, формула (75)) пары функций $F, H$, заданных на некотором (другом) линейном пространстве $V$ с координатами $\mathbf{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ и базисом $\left\{\omega^{1}, \ldots, \omega^{n}\right\}$ определяется формулой
\[
\{F, H\}=\sum_{i, j=1}^{n} J_{i j}(\mathbf{x}) \frac{\partial F}{\partial x_{i}} \frac{\partial H}{\partial x_{j}},
\]

где $J_{i j}(\mathbf{x})=\sum_{k} c_{i j}^{k} x_{k}$ – линейный по $x_{k}$ структурный тензор. Все необходимые тождества для структурного тензора можно получить из свойств структурных констант алгебры Ли:
1. $c_{i j}^{k}=-c_{j i}^{k}$,
2. $\sum_{m}\left(c_{i m}^{l} c_{j k}^{m}+c_{k m}^{l} c_{i j}^{m}+c_{j m}^{l} c_{k i}^{m}\right)=0$.
Более инвариантное описание структуры Ли-Пуассона делается следующим образом. Для любого векторного пространства $V$ и гладкой функции $F: V \rightarrow \mathbb{R}$ дифференциал $d F(\mathbf{x})$ в любой точке $\mathbf{x} \in V$ является элементом двойственного векторного пространства $V^{*}$, состоящего из линейных фунцционалов на $V$. По определению
\[
\langle d F(\mathbf{x}), \mathbf{y}\rangle=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{F(\mathbf{x}+\varepsilon \mathbf{y})-F(\mathbf{x})}{\varepsilon},
\]

для любого $\mathbf{y} \in V$, а операция $\langle\cdot, \cdot\rangle$ есть естественное спаривание пространства $V$ и двойственного к нему пространства $V^{*}$. Учитывая это, можно отождествить линейное пространство $V$, участвующее в исходной конструкции скобок Ли-Пуассона с двойственнным пространством $\mathfrak{g}^{*}$ к алгебре Ли $\mathfrak{g}$, причем $\left\{\omega^{1}, \ldots, \omega^{n}\right\}$ – двойственный базис к $\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$. Дифференциал $d F(\mathbf{x})$ любой функции $F: \mathfrak{g}^{*} \rightarrow \mathbb{R}$ (определенной на дуальном пространстве) является элементом пространства $\left(\mathfrak{g}^{*}\right)^{*} \approx \mathfrak{g}$. Скобка Ли-Пуассона в инвариантной форме имеет вид
\[
\{F, H\}(\mathbf{x})=\langle\mathbf{x},[d F(\mathbf{x}), d H(\mathbf{x})]\rangle, \quad \mathbf{x} \in \mathfrak{g}^{*},
\]

где $[\cdot, \cdot]$ — скобка Ли на самой алгебре $\mathfrak{g}$.
Симплектическое слоение для скобки Ли-Пуассона на двойственном пространстве $\mathfrak{g}^{*}$ к алгебре Ли имеет особенно замечательную интерпретацию в терминах представления, двойственного к присоединенному представлению группы Ли g на алгебре Ли g. (см. $[2,131]$ ).

Пусть $\mathfrak{G}$ – группа Ли с алгеброй Ли g. По определению коприсоединенным действием элемента группы $l \in \mathfrak{G}$ называется линейное отображение $\operatorname{Ad}_{l}^{*}: \mathfrak{g}^{*} \rightarrow \mathfrak{g}^{*}$ двойственного пространства, удовлетворяющее условию
\[
\left\langle\operatorname{Ad}_{l}^{*} \omega, \mathbf{w}\right\rangle=\left\langle\omega, \operatorname{Ad}_{l^{-1}} \mathbf{w}\right\rangle
\]

для всех $\omega \in \mathfrak{g}^{*}, \mathbf{w} \in \mathfrak{g}$, а $\operatorname{Ad}_{l}$ – присоединенное действие элемента $l$ на $\mathfrak{g}$.

Если отождествить касательное пространство $\left.T \mathfrak{g}^{*}\right|_{\omega}, \omega \in \mathfrak{g}^{*}$ с самим пространством $\mathfrak{g}^{*}$ (аналогично сделать и для $\mathfrak{g}$,) то можно получить инфинитезимальные образующие коприсоединенного действия дифференцированием равенства (1.15)
\[
\left\langle\operatorname{ad}_{\mathbf{v}}^{*} \omega, \mathbf{w}\right\rangle=-\left\langle\omega, \operatorname{ad}_{\mathbf{v}} \mathbf{w}\right\rangle=\langle\omega,[\mathbf{v}, \mathbf{w}]\rangle,
\]

где $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathfrak{g}, \omega \in \mathfrak{g}^{*}$. Для присоединенного представления $\operatorname{ad}_{\mathbf{w}} \mathbf{v}=[\mathbf{w}, \mathbf{v}]$.
Коприсоединенное действие и скобка Ли-Пуассона связаны следующим замечательным утверждением, доказательство которого можно найти в $[2,131,152]$.
Теорема 1. Пусть $\mathfrak{G}$ – связная группа Ли с коприсоединенным представлением $\operatorname{Ad}_{\mathfrak{G}}^{*}$ на $\mathfrak{g}^{*}$. Тогда орбиты представления $\operatorname{Ad}_{\mathfrak{G}}^{*}$ в точности совпадают со слоями симплектического слоения, индуцированного скобкой Ли-Пуассона на $\mathfrak{g}^{*}$.

В частности, орбиты коприсоединенного представления группы $\mathfrak{G}$ являются четномерными подмногообразиями в $\mathfrak{g}^{*}$. Кроме того, для каждого элемента $g \in \mathfrak{G}$ коприсоединенное отображение $\mathrm{Ad}_{g}^{*}$ является пуассоновым (сохраняет скобку Пуассона) и оставляет на месте слои этого слоения. В случае, если размерность орбиты коприсоединенного представления не является максимальной, то она называется сингулярной. Можно показать, что такие орбиты являются пуассоновыми многообразиями – сингулярными симплектическими листами. Сингулярные орбиты естественно возникают в различных задачах (см. гл. 2,3,4) и для групп $S O(n), E(n), U(n)$ описаны в приложении D.

Замечание 1. При редукции на орбиту коприсоединенного предетавления возникает невырожденная скобка, порождающая соответствующую замкнутую невырожденную 2-форму. Эта форма была (независимо от С.Ли) открыта Березиным и использовалась Кирилловым, Костантом и Сурьо в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. Термин «скобка Ли-Пуассона» введен А. Вейнстейном, который ввел также термин «фннция Казимира», вообще говоря, исторически мало оправданный. Казимир (H.B.G.Casimir), выполнявший диссертацию под руководством П. Эренфеста (P. Ehrenfest), использовал это понятие при квантовании уравнений Эйлера свободного волчка [217]. С. Ли называл эти функции отмеченными (ausgezeichnete Funktionen) [278].

Уравнения Гамильтона для структуры Ли-Пуассона
\[
\dot{x}_{i}=\left\{x_{i}, H\right\}
\]

в покомпонентной записи имеют вид
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{k, j} c_{i j}^{k} x_{k} \frac{\partial H}{\partial x^{j}} .
\]

Уравнения (1.17) можно записать в более инвариантном виде
\[
\dot{\mathbf{x}}=\operatorname{ad}_{d H}^{*}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \mathfrak{g}^{*},
\]

где $\operatorname{ad}_{\xi}^{*},(\xi \in \mathfrak{g})$ – оператор коприсоединенного представления алгебры Ли $\mathfrak{g}: \operatorname{ad}_{\xi}^{*}: \mathfrak{g}^{*} \rightarrow \mathfrak{g}^{*}$.

7. Приложения к механике. Оказывается, что ряд задач механики, например, уравнения, изучаемые в классической динамике твердого тела, динамике вихрей, могут быть записаны в виде уравнений Гамильтона на пуассоновом многообразии со скобкой ЛиПуассона (1.13). Отличием этих уравнений от канонической формы записи, как правило, является их простота и алгебраичность.

Представление уравнений движения в форме (1.17) называется алгебраизацией динамической системы [152]. В дальнейшем под алгебраизацией гамильтоновой системы мы будем понимать более широкую возможность ее представления в виде (1.9) с алгебраическим гамильтонианом и структурным тензором. При этом для всех рассматриваемых далее примеров эти инварианты являются просто полиномиальными (в некоторых случаях полиномиальность может быть достигнута введением избыточных координат).

Уравнения Эйлера и геодезические на группе Ли.
При выборе переменных для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки, в которых уравнения движения имеют наиболее простой вид, еще Л. Эйлер ( 1758 г.) предложил использовать проекции кинетического момента твердого тела на оси, связанной с телом системы координат. Уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого тела по инерции ( $I$ – тензор инерции)
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A M}, \\
\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \quad \mathbf{M}=\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right),
\end{array}
\]

могут быть записаны как уравнения Гамильтона со скобкой ЛиПуассона, порожденной структурными константами алгебры $s o(3)$ :
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}
\]

и функцией Гамильтона $H=(\mathbf{A M}, \mathbf{M}) / 2$.
Скобка (1.20) является вырожденной и обладает функцией Казимира – интегралом момента:
\[
M^{2}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2} .
\]

Ненулевой уровень этой функции задает симплектический лист двумерную сферу, при редукции на него скобка (1.20) становится невырожденной – ее ранг равен двум (центр сферы является сингулярной нульмерной орбитой). Координатами Дарбу в этом случае является система цилиндрических координат [131].
Замечание 2. Задание гамильтониана $H$ в виде
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \omega, \omega),
\]

определяет левоинвариантную риманову метрику на группе Ли $S O(3)$. Операторы $\mathbf{A}: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}^{*}$, и обратный ему $\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}: \mathfrak{g}^{*} \rightarrow \mathfrak{g}$ являются положительно определенными и задают переход от угловых скоростей $\omega$ к компонентам кинетического момента $M$. Уравнения (1.18) представляют собой уравнения геодезических на группе Ли, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Связь между уравнениями геодезических и уравнениями Эйлера динамики твердого тела обсуждается в [3], где также дается определение угловой скорости (кинетического момента) в теле и пространстве, как элементов алгебр Ли, полученных перенесением из касательного пространства в некоторой точке группы $\mathfrak{G}$ при помощи, соответственно, левых и правых сдвигов. Левоинвариантность формы кинетической энергии твердого тела при этом обусловлена тем, что она определяется вектором угловой скорости в теле и не зависит от расположения тела в пространстве.

В данной книге мы не будем подробно обсуждать связь алгебры Ли, соответствующей заданной скобке Ли-Пуассона, с порождающей ее группой Ли, тем более, что в некоторых случаях (динамика вихрей, цепочки Тоды) эта связь не является такой естественной, как в твердом теле.

Уравнения Эйлера-Пуассона. Развивая идею Эйлера, С. Пуассон (1810г.) вывел более общие уравнения, описывающие движение тяжелого твердого тела в однородном поле тяжести, используя, наряду

с компонентами вектора кинетического момента, проекции единичного орта вертикали $\gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$ на те же оси.

Оказывается, что уравнения Эйлера-Пуассона (а также уравнения Кирхгофа, описывающие движение однородного твердого тела в идеальной безвихревой жидкости по инерции) в переменных ( $\mathbf{M}, \gamma$ ) могут быть представлены как гамильтоновы уравнения со скобкой Ли-Пуассона, определяемой коммутационными соотношениями:
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0 .
\]

Эти коммутационные соотношения отвечают алгебре $e(3)$, являющейся полупрямой суммой алгебры вращений $s o(3)$ и трехмерной алгебры трансляций $\mathbb{R}^{3}$. Эта алгебра не является полупростой и обладает абелевым идеалом, определяемым переменными $\gamma_{i}$. Переменные типа (M, $\gamma$ ) в механике называют квазикоординатами. Более общие уравнения движения твердого тела в квазикоординатах в произвольном потенциальном поле будут приведены в следующей главе.

Движения тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение, можно также описать как гамильтонову систему на алгебре $s o(4)$, являющейся прямой суммой двух алгебр вращения: $s o(4)=s o(3) \oplus s o(3)$. При этом, один экземпляр so(3) отвечает кинетическому моменту тела, а второй – вектору завихренности (см. $[18,156]$ ). Уравнения движения в этом случае были получены А. Пуанкаре [308], который почти в современной форме отметил их связь с алгеброй so(4). Другие примеры гамильтоновых уравнений, некоторые из которых имеют физическое обоснование приведены в книгах $[18,156]$.

Замечание 3. Оказывается, что в виде (1.18) могут быть также записаны гидродинамические уравнения Эйлера идеальной (несжимаемой и невязкой) жидкости. В этом случае в качестве фазового пространства выступает группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема $[1,3]$.

Замечание 4. В гидродинамике канонические координаты на симплектическом листе называются переменными Клебша [287]. Если их введение локально возможно по теореме Дарбу, то глобальное определение сделать не так просто, а иногда и невозможно. Это обусловлено топологией симплектического листа.

Замечание 5. Для структуры Ли-Пуассона, и для соответствующей ей алгебры Ли может быть найдено картановское разложение $[8,316]$. Анализ

структуры этого разложения позволяет более просто определить канонические координаты на симплектических листах. Например, укажем алгебру $e(3)=s o(3) \oplus s \mathbb{R}^{3}$ уравнений Эйлера-Пуассона, где выделение подалгебры $s o(3)$ позволяет просто ввести канонические переменные АндуайеДепри $[5,28,77]$, имеющие важное значение в динамике твердого тела.

8. Квадратичные скобки Пуассона. В некоторых задачах с целью упрощения и алгебраизации гамильтоновой системы удобно рассматривать произвольные алгебраические (дробно-рациональные) скобки Пуассона (см. $\S 2$ гл. $4, \S \S 3,4$ гл. 5). Рассмотрим подробнее однородные квадратичные скобки. Отметим, что под действием однородных преобразований квадратичные скобки сохраняют степень однородности. Действительно, степень однородности $\alpha$ преобразуется по закону $\alpha^{\prime}=2+\frac{\alpha-2}{s}$, где $s-$ степень преобразования $x \rightarrow y: y_{i}(\lambda x)=\lambda^{s} y(x)$.

Классификация трехмерных линейных скобок сводится к хорошо известной классификации Бьянки соответсвующих алгебр Ли $[16,61]$. Структура трехмерных квадратичных скобок Пуассона существенно сложнее и была изучена Ж.П. Дюфуром в [229]. Оказалось, что все эти скобки изоморфны четырнадцати различным типам, содержащим, в свою очередь, произвольные параметры $(a, b, c, d)$
1. $\{x, y\}=c x y,\{y, z\}=a y z,\{z, x\}=b z x$;
2. $\{x, y\}=b\left(x^{2}+y^{2}\right),\{y, z\}=z(2 b x-a y),\{z, x\}=z(a x+2 b y)$;
3. $\{x, y\}=x^{2},\{y, z\}=-a z y+2 z x,\{z, x\}=a x z$;
4. $\{x, y\}=a x y,\{y, z\}=x^{2}+c y z,\{z, x\}=a z x$;
5. $\{x, y\}=a x^{2},\{y, z\}=y z+(1+2 a) x z,\{z, x\}=-x z(a
eq-1 / 2)$;
6. $\{x, y\}=-(1 / 2) x^{2},\{y, z\}=b y z,\{z, x\}=-b x z$;
7. $\{x, y\}=a\left(x^{2}+y^{2}\right),\{y, z\}=b y z+(2 a+c) x z$,
\[
\{z, x\}=(2 a+c) y z-b x z ;
\]
8. $\{x, y\}=((a+b) / 2)\left(x^{2}+y^{2}\right) \pm z^{2},\{y, z\}=a x z,\{z, x\}=a y z$;
9. $\{x, y\}=-(1 / 3) x^{2},\{y, z\}=a x^{2}-(1 / 3) y^{2}+(1 / 3) x z$, $\{z, x\}=(2 b+1) x y$
10. $\{x, y\}=-(2 b+1) x^{2},\{y, z\}=b y^{2}-(1+4 b) x z,\{z, x\}=(2 b+1) x y$;
11. $\{x, y\}=c x^{2}+d z^{2},\{y, z\}=(2 c+1) x z,\{z, x\}=0$;
12. $\{x, y\}=c x^{2}+d z^{2},\{y, z\}=x^{2}+(2 c+1) x z,\{z, x\}=0$;
13. $\{x, y\}=c x^{2}+d z^{2}+2 x z,\{y, z\}=0,\{z, x\}=a x^{2}+z^{2}+(2 c+1) x z$;
14. $\{x, y\}=\partial \mathbf{P} / \partial z,\{y, z\}=\partial \mathbf{P} / \partial x,\{z, x\}=\partial \mathbf{P} / \partial y$,

где $\mathbf{P}$ – однородный полином степени 3.

Содержательный пример существования квадратичных коммутационных соотношений, возникший из анализа уравнений ЯнгаБакстера, был указан Е.К. Скляниным. Он рассмотрел алгебру скобок Пуассона, порожденную следующими соотношениями между образующими $S_{0}, S_{\alpha}, S_{\beta}, S_{\gamma}[148]$ :
\[
\hookrightarrow\left\{S_{\alpha}, S_{0}\right\}=2 J_{\beta \gamma} S_{\beta} S_{\gamma}, \quad \hookrightarrow\left\{S_{\alpha}, S_{\beta}\right\}=-2 S_{0} S_{\gamma},
\]

где
\[
\hookrightarrow J_{\alpha \beta}=J_{\alpha}-J_{\beta}, \quad J_{\alpha}, J_{\beta}, J_{\gamma} \in \mathbb{R} .
\]
(здесь и далее $\hookrightarrow$ обозначает циклические перестановки индексов $\alpha, \beta, \gamma$.)

Скобка, задаваемая соотношениями (1.22), является вырожденной. Она обладает функциями Казимира
\[
F_{1}=S_{\alpha}^{2}+S_{\beta}^{2}+S_{\gamma}^{2}, \quad F_{2}=S_{0}^{2}+J_{\alpha} S_{\alpha}^{2}+J_{\beta} S_{\beta}^{2}+J_{\gamma} S_{\gamma}^{2} .
\]

Более сложный пример квадратичной алгебры скобок Пуассона был указан в работе $[40]$. При этом между образующими $A, B, C, D$ имеются следующие коммутационные соотношения
\[
\begin{array}{lll}
\{A, B\}=-A B, & \{B, C\}=0, & \{A, C\}=-A C, \\
\{B, D\}=-B D, & \{A, D\}=-2 B C, & \{C, D\}=-C D .
\end{array}
\]

Скобка (1.24) также является вырожденной. Ее центральными функциями являются
\[
F_{1}=A D-B C, \quad F_{2}=B / C .
\]

Квадратичные скобки Пуассона возникают также в многомерных интегрируемых цепочках Тоды и Вольтерра и будут рассмотрены в $\S \S 2,4$ гл. 5 .

В следующих разделах книги мы представим уравнения динамики твердого тела, вихревой динамики, динамики материальной точки в искривленных пространствах и многочастичные системы в виде гамильтоновых уравнений с линейной или более сложной пуассоновой структурой, а также укажем пару пуассоновых структур для некоторых классических интегрируемых задач.