1. Понижение порядка – алгебраический аспект. Понижение порядка в гамильтоновых системах, обладающих симметриями восходит к классическим работам Эйлера и Якоби. Симметрии в гамильтоновых системах, как правило, связаны с существованием первых интегралов. Их наличие позволяет редуцировать систему, то есть понизить число степеней свободы.

Наиболее изучена редукция Рауса, связанная с существованием циклических интегралов и соответствующих им циклических координат. Глобальное проведение редукции Рауса для канонической гамильтоновой системы, как правило, приводит к неоднозначным гамильтонианам и неточной форме гироскопических сил [129]. По предложению Сурьо, для перехода к однозначному гамильтониану гироскопические силы вносят в скобку Пуассона, которая при этом теряет каноническую форму (см. §5 гл. 2).

Такое включение гироскопических сил в скобку, вызванное соображениями удобства, имеет более глубокое значение при проведении процедуры редукции на алгебраическом уровне (в дальнейшем под словом алгебраический мы будем понимать, как правило, полиномиальный или дробно-рациональный класс функций). Если исходная система представлена в алгебраической форме с алгебраическим гамильтонианом и структурным тензором, то при редукции разумно преобразовывать гамильтониан и структурный тензор одновременно, не теряя их алгебраической формы.

Напомним, что целью алгебраизации (например, представление уравнений движения со скобкой Ли-Пуассона и полиномиальным гамильтонианом) первоначальной канонической системы является достижение их простоты, возможности геометрического (топологического) анализа и применимость для исследования условий интегрируемости в классе алгебраических функций.

Проведение процедуры редукции на алгебраическом уровне преследует те же цели по отношению к приведенной системе, что позволяет в некоторых случаях обнаружить неожиданные изоморфизмы между различными задачами динамики.

Если в каноническом случае обязательным условием редукции было уменьшение числа степеней свободы и порядка системы уравнений, то в алгебраическом случае мы должны добиться лишь падения ранга пуассоновой структуры. При этом полное число уравнений может даже возрасти, тем не менее при ограничении редуцированной системы на симлектический лист число переменных (и уравнений) все равно упадет. Все известные канонические редукции (в частности понижение порядка по Раусу, редукция по моменту $[3,4,152]$ ) могут быть проведены в алгебраической форме с последующим ограничением на симплектический лист.

2. Общая процедура редукции. Рассмотрим процедуру редукции в общей форме, как составную часть некоторой общей идеи, развиваемой Ли и названной им теорией функциональных групn [278]. Софус Ли первый указал на важность изучения наборов функций на пуассоновом многообразии, замкнутых относительно скобки Пуассона.

Пусть $M$ – пуассоново многообразие со структурным тензором $J_{i j}=\left\{x_{i}, x_{j}\right\}$ ранга $r(\operatorname{dim} M=n)$. Предположим, что на $M$ задан также некоторый набор функций $z_{\alpha}: M \rightarrow R, \alpha=1, \ldots, l$, который замкнут относительно скобки Пуассона
\[
\left\{z_{\alpha}, z_{\beta}\right\}=h_{\alpha \beta}\left(z_{1}, \ldots, z_{l}\right) .
\]

Если все функции $z_{\alpha}$ являются независимыми, то тензор $h_{\alpha \beta}(z)$ определяет новый структурный тензор (и соответствующую функциональную группу по Ли). С теорией псевдогрупп Ли для нелинейного поля $h_{\alpha \beta}(z)$ читатель может познакомиться по книге [71].

Если набор функций не является независимым (в частном случае, задает систему избыточных координат на $M$ ), то есть выполнены (независимые) соотношения
\[
F_{\mu}(z)=0, \quad \mu=1, \ldots, k,
\]

то тензорное поле, рассматриваемое в пространстве $N=\{z\}$, вообще говоря, не удовлетворяет тождеству Якоби. Оказывается, что в этом случае можно добиться выполнения тождества Якоби, преобразуя набор функций и тензорное поле $h_{\alpha \beta}(z)$.

Действительно, легко доказать корректность ограничения тензорного поля (8.1) на уровень (8.2), задающий подмногообразие $N_{0}$. Тождество Якоби для этого ограничения $-\{\cdot, \cdot\}_{N_{0}}$ заведомо выполняется (для этого необходимо из набора $z_{\alpha}$ выделить полный набор независимых функций) и соответсвующее отображение $z: M \rightarrow N_{0}$ является пуассоновым. Более того, возможно, что структуру (8.1) можно корректно ограничить на более широкое (объемлющее) мнообразие $N_{1}$, заданное лишь частью соотношений (8.2),
\[
F_{\mu}(z)=0, \quad \mu=1, \ldots, p<k,
\]

на котором уже выполнено тождество Якоби. Соответствующую скобку Пуассона обозначим через $\{\cdot, \cdot\}_{N_{1}}$.

Оставшаяся часть соотношений (8.2) с $\mu=p, p+1, \ldots, k$ разбивается на два подкласса
\[
\begin{array}{rr}
\text { 1) } F_{
u}(z)=0, &
u=p, \ldots, p+m-1, m \leqslant 1, \\
\text { 2) } F_{\lambda}(z)=0, & \lambda=p+m, \ldots, k .
\end{array}
\]

Представители первого набора являются центральными функциями, а второго набора – только пуассоновыми многообразиями, то есть
\[
\left\{z_{\alpha}, F_{\lambda}(z)\right\}_{N_{1}}=0, \quad \alpha=1, \ldots, l,
\]

при условии $F_{\lambda}(z)=0$.
ЗАмЕчаниЕ 1 . Для структуры Ли-Пуассона $\{\cdot, \cdot\}$ эти многообразия определяемые соотношениями класса II, задают сингулярную орбиту коприсоединенного представления соответствующей группы Ли (см. приложение D).

Для получения полного набора аннуляторов пуассоновой структуры на $N_{1}$ необходимо к функциям $F_{
u}(z)$ добавить функции Казимира первоначальной структуры на $M=\left\{x_{i}\right\}$, выражающиеся через переменные $z_{\alpha}$. Так как не все пуассоновы подмногообразия на $N_{1}$, задаваемые соотношениями (8.2), являются функциями Казимира (то есть набор 2 не пуст), то ее ранг не обязательно будет меньше $r$, и может возрасти (при этом, однако, всегда $\operatorname{rank}\{\cdot, \cdot\}_{N_{0}} \leqslant r$ ).

Целью алгебраической пуассоновой редукции является: с одной стороны – с помощью выбора наиболее приемлемой системы функций $z_{\alpha}$ понизить ранг пуассоновой структуры на $N_{0}(!)$, с другой найти наиболее приемлемое объемлющее многобразие $N_{1}$, на котором пуассоново тензорное поле $h_{\alpha \beta}$ будет иметь наиболее простой алгебраический вид (в идеале определяется алгеброй Ли). При этом необходимо следить также за приемлемой алгебраической формой гамильтониана.

Укажем три конструктивных пути нахождения системы функций $z_{\alpha}$ и приведенного (редуцированного) тензорного поля (8.1) для гамильтоновой системы
\[
\dot{x}^{i}=\{x, H\}=J^{i j} \frac{\partial H}{\partial x^{j}}, \quad x \in M .
\]

3. Алгебраические алгоритмы редукции.

1. Вследствие наличия симметрий (первых интегралов) может оказаться что гамильтониан $H$ зависит не от всех переменных $x_{i}$, а лишь от некоторых их комбинаций $z_{1}(x), \ldots,, z_{l}(x)$. Вообще говоря, этот набор

не является замкнутым относительно скобки Пуассона. Для получения замкнутого набора можно, следуя Якоби, выбрать за новые функции скобки Пуассона предыдущих. Несложно показать, что этот процесс на определенном шаге оборвется и определит необходимую нам замкнутую систему. Все искусство в этом случае заключается в выборе первоначальных комбинаций $z_{1}, \ldots, z_{l}$, для которого нет никакого определенного правила.

2. Пусть гамильтонова система (8.4) обладает первым интералом $F(x)=c$ и соответствующим ему полем симметрий
\[
\dot{x}=\{x, F\} .
\]

Если система (8.5) достаточно проста, что как правило справедливо, когда интеграл $F(x)$ имеет естественное симметрийное происхождение (связан с инвариантностью системы относительно некоторой однопараметрической группы преобразований), то она имеет достаточно богатое семейство независимых первых интегралов $f_{1}, \ldots, f_{l}$ отличных от $F$. По методу Якоби их можно дополнить до замкнутого семейства $z_{1}=f_{1}, \ldots, z_{m}=f_{m},\left(z_{k}
eq F\right)$
\[
\left\{z_{i}, z_{j}\right\}=h_{i j}(z) .
\]

Для многих содержательных механических систем тензор $h_{i j}(z)$ сразу удовлетворяет не только тождеству Якоби, но и является линейным. Если семейство $z=\left(z_{1}, \ldots, z_{k}\right)$ в некотором смысле является полным (в частности, если все $z_{i}$ независимы и $k=n-1$ ), то гамильтониан $H$ и интеграл $F$ можно выразить через эти переменные $H=H(z), F=F(z)$. Вследствие выбора функций $z_{i}$ как интегралов поля (8.5), функция $F(z)$ с ними коммутирует $-\left\{z_{k}, F\right\}=0$, и поэтому является аннулятором структуры (8.6). Следовательно ранг (8.6) хотя бы на две единицы меньше исходного и процедура редукции завершена.
Сделаем несколько замечаний относительно описанного алгоритма.

Замечание 2. Вследствие неоднозначности выбора интегралов системы (8.5) можно получить различные пуассоновы структуры (8.6). Наиболее желательно получить структуру Ли-Пуассона. Вообще говоря, для ряда содержательных задач динамических задач это невозможно, и тензорное поле является существенно нелинейным.

Замечание 3. Если указанное понижение ранга производится для уравнений Пуанкаре – Четаева на кокасательном расслоении (см. $\S 5$ гл. 2), а интеграл $F$

линеен по (квази)импульсам и является циклическим, то система уравнений для позиционных переменных $q$ отделяется и интегрируется отдельно. В этом случае, как правило, редукция может быть проведена конструктивно. На локальном уровне (после ограничения редуцированной сруктуры на симплектический лист) этот процесс соответствует процедуре Рауса исключения циклической координаты. Такой «сложный» путь редукции Рауса в некоторых случаях способен дать более полную информацию о топологическом устройстве приведенной системы и позволяет выбрать для нее наиболее естественные приведенные канонические координаты.

Замечание 4. Если интеграл $F(x)$ не соответствует никакой естественной групповой симметрии (например, интеграл Ковалевской в уравнениях Эйлера-Пуассона, см $§ 1$ гл. 2), то нахождение интегралов системы (8.5) затруднительно (и даже невозможно), и указанный способ не приводит к цели. В этом случае говорят о скрытой симметрии, процедура редукции по которой, как правило, конструктивно не выполнима.

Замечание 5. Как для первого, так и для второго варианта нахождения редуцированной системы $z_{\alpha}$, мы переводим имеющиеся первые интегралы гамильтоновой системы (8.4) в разряд функций Казимира и тем самым понижаем ее ранг (по крайней мере на $N_{0}$ ).

Замечание 6. Последующую операцию ограничения скобки на пуассоновы многообразия структур $\{\cdot, \cdot\}_{N_{0}},\{\cdot, \cdot\}_{N_{1}}$ также можно проводить различными способами. В некоторых случаях здесь также можно добиться упрощения структурного тензора, внося константы, фиксирующие пуассоново многообразие, в гамильтониан (в классической процедуре редукции константы игнорируемых интегралов обязательно входят в гамильтониан, в лагранжевом подходе в приведенный потенциал). Для описанной процедуры редукции характерно большое разнообразие приведенных систем, имеющих различные алгебраические представления (в отличие от обычной схемы, где множество приведенных систем параметризуется производящей функцией канонического преобразования).

Замечание 7. Как и в классическом подходе, положениям равновесия редуцированной (приведенной) системы соответствуют периодические решения (стационарные движения) исходной. В некоторых случаях (например, при анализе на устойчивость) их также проще изучать при подходящей алгебраизации (а не в канонической форме).

Случай наличия у системы набора инволютивных первых интегралов сводится к последовательному применению описанной процедуры к каждому интегралу по отдельности. Однако иногда удобнее воспользоваться следующими соображениями.

3. Пусть у системы (8.5) имеется $m$ независимых первых интегралов – $f_{i}(x),(i=1, \ldots, m)$, образующих некоторую, в общем случае бесконечномерную, алгебру Ли
\[
\left\{f_{i}, f_{j}\right\}=h_{i j}(f) .
\]

Случай, когда тензорное поле $h_{i j}$ является линейным наиболее часто встречается в приложения. Он соответствует инвариантности системы относительно некоторой (многопараметрической) группы Ли. Действие группы Ли при этом называется пуассоновским (гамильтоновым).

Алгебраическая редукция по симметриям, определяемым системой (8.7), связана с построением набора первых интегралов $z_{\alpha}, \alpha=$ $=1, \ldots, s$ потоков, порожденных гамильтонианами $f_{i}\left(\left\{z_{\alpha}, f_{i}\right\}=0\right)$,
– замкнутого относительно скобки Пуассона
\[
\left\{z_{\alpha}, z_{\beta}\right\}=J_{\alpha \beta}(z)
\]
– и обладающего свойством полноты, в том смысле, что гамильтониан может быть выражен через переменные $z_{\alpha}, f_{i}$.

Локальное существование такого набора следует из теоремы ЛиКартана, которую мы приведем в формулировке [4].

Теорема 10. Пусть набор первых интегралов (8.7) задает отображение $f: M \rightarrow \mathbb{R}^{m}$. Предположим, что точка $c \in R^{m}$ не является критическим значением отображения $f$, и в ее окрестности ранг матрицы $\left\|h_{\alpha \beta}\right\|$ (8.7) постоянен. Тогда в малой окрестности $U \subset R^{m}$ точки с найдутся $т$ независимых функиий $\varphi_{i}: U \rightarrow R$ таких, что функции $\Phi_{i}=\varphi_{i} \circ f: N \rightarrow R, N=f^{-1}(U)$ удовлетворяют следующим соотношениям:
\[
\left\{\Phi_{1}, \Phi_{2}\right\}=\cdots=\left\{\Phi_{2 q-1}, \Phi_{2 q}\right\}=1,
\]

все остальные $\left\{\Phi_{i}, \Phi_{j}\right\}=0$. Число $2 q$ равно рангу матрицы $\left\|h_{\alpha \beta}\right\|$.
Из теоремы 1 следует, что ранг скобки (8.8) уменьшится по сравнению с первоначальным по крайней мере на величину ранга тензоpa (8.7), (то есть число степеней свободы уменьшиться на величину максимального числа инволютивных интегралов от переменных (8.7)), функционально независимых с первоначальными функциями Казимиpa.

В результате получим редуцированную систему
\[
\dot{z}_{\alpha}=\left\{z_{\alpha}, H(z, f)\right\}
\]

на совместной поверхности уровня первых интегралов $f_{i}$ и соответсвующем симлектическом листе пуассоновой структуры (8.8).
ЗАМЕчаниЕ 8. Может оказаться, что скобка (8.8) не удовлетворяет тождеству Якоби во всем пространстве $R^{s}=z_{1}, \ldots, z_{s}$, в этом случае необходимо огранигить систему на магсимальное пуассоново подмногообразие $N_{1} \subset R^{8}$ (см. выше).

Замечание 9. Во многих случаях ( $\S 5$ гл. 2) $f_{i}$ выражаются через $z_{\alpha}$ и являются функциями Казимира скобки (8.8). При этом гамильтониан также зависит лишь от переменных $z$, и константы интегралов $f_{i}=c_{i}$ проявляются лишь при ограничении системы на фиксированный симплектический лист.

С геометрической точки зрения редуцированная система представляет собой систему на многообразиях порожденных потоками первых интегралов $f_{i}$. В классическом случае – это приведенная система. Если интегралы (8.7) образуют алгебру Ли, то процедура редукции формализуется в схеме отображения момента и подробно изложена во многих работах $[2,3,4,131,137,156,286,319]$. Формула (8.7) выражает критерий Фробениуса интегрируемости распределения, определенного гамильтоновыми полями $v_{i}=\left\{\cdot, f_{i}\right\}$. Если к линейным членам в (8.7) добавляются постоянные слагаемые, неустранимые заменой $f_{i} \rightarrow f_{i}+c_{i}$, то говорят о непуассоновском (негамильтоновом) действии группы Ли. Одно из возможных обобщений процедуры отображения момента в этом случае рассмотрено в §8 гл. 4 .

Восстановление закона движения в первоначальных переменных (абсолютное движение) может оказаться сложной проблемой если алгебра интегралов (8.7) некоммутативна (неразрешима). Во всех содержательных (физических) примерах, тем не менее, абсолютное движение удается восстановить с помощью простых квадратур.

4. Укажем еще один тип редукции неэквивалентный трем предыдущим, позволяющий получать новые интегрируемые системы из уже известных.

Рассмотрим гамильтонову систему на пуассоновом многообразии $M(\operatorname{dim} M=m)$
\[
\dot{x}_{i}=\left\{x_{i}, H\right\}, \quad i=i, \ldots, m,
\]

обладающую инволютивным набором первых интегралов $f_{i}(x)$
\[
\left\{f_{i}, H\right\}=0, \quad\left\{f_{i}, f_{j}\right\}=0, i, j=1, \ldots s .
\]

Допустим, что первые $k$ координат образуют замкнутую подалгебру относительно скобок Пуассона
\[
\left\{x_{i}, x_{j}\right\}=h_{i j}\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right), \quad i, j=1, \ldots k,
\]

а оставшиеся $m-k$ переменных коммутируют с интегралами и гамильтонианом:
\[
\left\{y_{\mu}, H\right\}=\left\{y_{\mu}, f_{j}\right\}=0, \quad \mu=k+1, \ldots, m, j=1, \ldots s .
\]

Выражая функцию Гамильтона $H$ через переменные $x_{1}, \ldots, x_{k}$, $y_{k+1}, \ldots, y_{m}$, и полагая $y_{\mu}=c_{\mu}=$ const, получим редуцированную систему на пуассоновой структуре (8.11)
\[
\dot{x}_{i}=\left\{x_{i}, H_{r e d}(x)\right\}=\sum_{j=1}^{k} h_{i j}(x) \frac{\partial H_{r e d}}{\partial x_{j}}(x, c), \quad i=1, \ldots k,
\]

где $H_{\text {red }}(x)=\left.H(x, y)\right|_{y=c}$.
Функции $F_{i}$, выраженные через $(x, y=c$ ), определяют инволютивный (в структуре (8.11)) набор интегралов системы (8.13)
\[
\bar{f}_{i}(x)=\left.f_{i}(x, y)\right|_{y=c}, \quad i=1, \ldots, s .
\]

Как правило, при условии полноты набора функций $f_{i}(x, y)$, интегралы $\bar{f}_{i}(x)$ также образуют полный набор и обе системы являются интегрируемыми.

С помощью такого способа может быть получен полный инволютивный набор и $\mathbf{L}-\mathbf{A}$ пара обобщенного волчка Ковалевской из уже известных для уравнений движения системы взаимодействующих волчков на алгебрах $\operatorname{so}(3)$ и $\operatorname{so}(2)$.

Более формальное проведение этих рассуждений на основе представлений Лакса-Гейзенберга содержится в [132], где обсуждается также их связь с другими способами гамильтоновой редукции. В работе [141] из интегрируемой системы Ковалевской на $s o(p, q)$ при помощи указанной конструкции построены интегрируемые многомерные обобщения волчка Ковалевской.

4. Дополнительные замечания. Разобранные в этом параграфе общие принципы редукции в гамильтоновых системах существенно связаны с алгебраической (полиномиальной, дробно-рациональной) формой пуассоновой структуры. Как правило, на аналитическом уровне и в каноническом формулизме, представленном в книгах $[2,3,4]$, такого сорта вопросы не возникают. Однако некоторые системы, возникающие, например, в динамике вихревых структур (см. гл. 4), могут быть вполне изучены лишь с применением изложенных соображений. Классические методы приволят здесь к очень запутанным вычислениям, в то время как использование известных фактов геометрии и теории групп Ли позволяют в едином ключе рассмотреть целый класс различных проблем.

Изложенные конструкции на первый взгляд выглядят очень неестественно. Тем не менее их введение необходимо для анализа конкретных физических проблем, рассмотрению которых посвящена оставшаяся часть книги. При желании читатель может возвратиться к этому разделу после ознакомления с таким «экспериментальным материалом».