§ 4.9. Ортогональная система функций

Функция  называется нормальной, если

.

Две функции  называются ортогональными (между собой), если . Система кусочно-непрерывных на отрезке  функций

                                      (1)

(конечная или бесконечная) называется ортогональной, если функции имеют положительную норму и попарно ортогональны.

Система (1) называется ортогональной и нормальной (ортонормальной) или ортонормированной, если

т. е. она ортогональна и каждая входящая в нее функция имеет единичную норму.

Любая конечная ортогональная система функций  линейно независима в , т. е. из того, что

,

где  - числа, следует, что все . В самом деле, если помножить обе части этого равенства скалярно на , то на основании линейных свойств скалярного произведения получим

,

и так как , то .

Если  - произвольная функция, то число

называется коэффициентом Фурье функции  относительно функции , ортогональной системы (1). Ряд

,                                             (2)

порождаемый функцией , называется рядом Фурье функции  по ортогональной системе (1).

Если система (1) ортонормальна, то  и ряд Фурье функции  записывается еще проще:

.                                          (3)

Коэффициентами Фурье в этом случае являются числа . В дальнейшем мы будем рассматривать только ортонормированные системы (1). Переход от них к произвольным ортогональным системам носит технический характер.

Теорема 1. Если система (1) ортонормирована, то для любой функции  норма

среди всевозможных систем чисел  достигает своего минимума для единственной системы чисел, определяемых равенствами

,

т. е. для коэффициентов Фурье функции .

Таким образом,

,                          (4)

при этом

.                   (5)

Доказательство. Имеем

При этом очевидно, что последнее соотношение в этой цепи обращается в равенство только в единственном случае, когда  при любом . Тем самым мы доказали соотношения (4) и (5).

Из равенства (5), если учесть, что его левая часть есть неотрицательное число, вытекает неравенство

,

верное при любом . Но тогда, если система (1) состоит из бесконечного числа функций , то ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье функции  сходится и справедливо неравенство

,                                  (6)

называемое неравенством Бесселя.

Очень важен тот случай, когда ортонормированная система (1) такова, что неравенство (6) обращается в равенство (равенство Парсеваля-Стеклова)

                                   (7)

для всех функций .

Чтобы выяснить значение равенства Парсеваля, зададим произвольную функцию  и составим для нее ее ряд Фурье

.

Сумма первых  членов этого ряда

называется -й суммой Фурье функции  по ортогональной системе (1).

Согласно формуле (5) отклонение  от  в смысле среднего квадратического (в смысле ) равно

.                                         (8)

Если для функции  выполняется равенство Парсеваля (7), то

,                                            (9)

и обратно, из (9) вытекает справедливость равенства Парсеваля (7).

Существует следующая терминология. Ортогональная система (1) называется полной в , если ряд Фурье любой функции  сходится в смысле среднего квадратического к , т. е. если имеет место свойство (9) для всех .

Мы, таким образом, доказали, что для того чтобы ортонормированная система (1) была полной в , необходимо и достаточно, чтобы для любой функции  выполнялось равенство Парсеваля (7).

Примечание. Мы уже отмечали в замечании 1 §4.8, что  обозначает пространство функций , интегрируемых в лебеговом смысле на  вместе со своими квадратами и что .

Рассмотрим ортонормированную на отрезке  систему непрерывных функций

,

полную в том, смысле, как это мы определили выше. Мы знаем, что если , то для чисел

                                        (10)

выполняется равенство Парсеваля

.

Это верно и для функций , только интегралы надо понимать в смысле Лебега.

Но имеет место и обратное утверждение: если числа  таковы, что ряд

сходится, то в  существует функция  такая, что числа   являются ее коэффициентами Фурье и выполняется соотношение (9).

А в  такой функции может и не быть. В этом проявляется несовершенство пространства . В пространстве  недостаточно количество функций, для того чтобы это обратное утверждение имело место.