§ 2. Тригонометрический ряд Фурье

1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье

а. Тригонометрический ряд и тригонометрический ряд Фурье.

Классический тригонометрический ряд — это ряд вида

получаемый на базе тригонометрической системы Коэффициенты здесь вещественные или комплексные числа. Частичные суммы тригонометрического ряда (1)

суть тригонометрические многочлены

соответствующей степени

Если ряд (1) сходится поточечно на то его сумма очевидно, -периодическая функция на . Она вполне определяется заданием ее сужения на любой отрезок длины

Обратно, если дана -периодическая функция на (колебания, сигнал и т. и мы желаем разложить ее в сумму некоторых канонических периодических функций, то для этой цели первыми предендентами служат простейшие -периодические функции представляющие простые гармонические колебания кратных частот.

Допустим, нам удалось представить непрерывную функцию в виде суммы

равномерно сходящегося к ней тригонометрического ряда. Тогда коэффициенты разложения (3) легко и вполне однозначно находятся.

Домножая в этрм случае равенство (3) последовательно на каждую из функций системы пользуясь возможностью почленно интегрировать получаемые при этом равномерно сходящиеся ряды и учитывая соотношения

находим коэффициенты

разложения (3) функции в тригонометрический ряд.

Мы пришли к тем же коэффициентам, какие бы мы имели, рассматривая (3) как разложение Фурье вектора по ортогональной системе Это не удивительно, поскольку из равномерной сходимости ряда (3), конечно, вытекает и его сходимость в среднем на отрезке тогда коэффициентами ряда должны быть коэффициенты Фурье функции по рассматриваемой ортогональной Системе (см. § 1).

Определение 1. Если для функции имеют смысл интегралы (4), (5), то сопоставляемый тригонометрический ряд

называется тригонометрическим рядом Фурье функции

Поскольку других рядов Фурье, кроме тригонометрических, в этом параграфе не будет, мы для краткости позволим себе порой опускать слово «тригонометрический» и будем говорить просто «ряд Фурье функции

В основном мы будем иметь дело с функциями класса или, несколько шире, с функциями, квадрат модуля которых интегрируем (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке Сохраним прежний символ для обозначения линейного пространства таких функций со стандартным скалярным произведением в нем

Неравенство Бесселя

справедливое для любой функции , показывает, что Далеко не каждый тригонометрический ряд (1) может быть рядом Фурье некоторой функции .

Пример 1. Тригонометрический ряд

как нам уже известно (см. пример 7 из § 2 гл. XVI), сходится на но он не является рядом Фурье никакой функции так как ряд расходится.

Итак, изучаться здесь будут не произвольные тригонометрические ряды (1), а ряды Фурье (6) функций класса , а также класса абсолютно Интегрируемых на функций.

b. Сходимость в среднем тригонометрического ряда Фурье.

Пусть

частичная сумма ряда Фурье функции . Отклонение от можно измерять, как в естественной метрике пространства , индуцированной скалярным произведением (7), т. е. в смысле среднего квадратичного уклонения

от на промежутке , так и в смысле поточечной сходимости на этом промежутке.

Первый из указанных видов сходимости для произвольного ряда Фурье был рассмотрен в § 1. Конкретизация полученных там результатов применительно к тригонометрическому ряду Фурье связана прежде всего с тем, что тригонометрическая система полна в (это уже отмечалось в § 1 и будет независимо доказано в п. 4 настоящего параграфа).

Значит, основная теорема из § 1 в нашем случае позволяет утверждать, что справедлива следующая

Теорема 1 (о сходимости в среднем тригонометрического ряда Фурье). Ряд Фурье (6) любой функции сходится к ней в среднем (10), т. е.

и имеет меспю равенство Парсеваля

Мы часто будем использовать более компактную комплексную форму записи тригонометрических полиномов и тригонометрических рядов, основанную на формулах Эйлера Используя их, частичную

сумму (9) ряда Фурье можно записать в виде

а сам ряд Фурье (6) — в виде

где

т. е.

и, значит, — попросту коэффициенты Фурье функции по системе

Обратим внимание на то, что суммирование ряда Фурье (6) понимается в смысле сходимости сумм (9).

Теорема 1 в комплексной записи означает, что для любой функции

и

с. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 1 полностью решает вопрос о сходимости ряда Фурье (6) в среднем, т. е. по норме пространства Вся дальнейшая часть этого параграфа в основном будет посвящена изучению условий и характера поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Мы рассмотрим только наиболее простые аспекты этого вопроса Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда, как правило, дело настолько тонкое, что, (Несмотря на традиционное центральное место, которое после Эйлера, Фурье и Римана в теории функций занимали ряды Фурье, до сих Пор нет внутреннего описания класса тех функций, которые представляются сходящимся к ним в каждой точке тригонометрическим

рядом (проблема Римана). До недавнего времени не было даже известно, обязан ли ряд Фурье непрерывной функции сходиться к ней почти всюду (то, что сходимости всюду при этом может не быть, уже знали). В свое время А. Н. Колмогоров даже построил пример всюду расходящегося ряда Фурье функции (где - пространство функций, интегрируемый по Лебегу на промежутке получаемое метрическим пополнением пространства а Д.Е. Меньшов построил тригонометрический ряд (1), содержащий отличные от нуля коэффициенты и сходящийся к нулю почти всюду (нуль-ряд Меньшова) Поставленный Н. Н. Лузиным вопрос (проблема Лузина) о том, обязан ли ряд Фурье любой функции — метрическое пополнение пространства сходиться почти всюду, был решен, причем, утвердительно только в 1966 г. Л. Карлесоном. Из результата Л. Карлесона, в частности следует, что ряд Фурье любой функции (например, непрерывной) обязан сходиться почта во всех точках отрезка ,