257. Объем шара и его частей.

Объем шара вычисляется на основании следующего предложения.

Теорема. Объем полу шара равен разности объемов цилиндра и конуса, имеющих с полушаром общие основание и высоту.

Доказательство. Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим полушар радиуса R (рис. 406) и цилиндр, радиус и высота которого также равны R. На верхнем основании этого цилиндра построим конус высоты R, обращенный вершиной вниз. Вершина этого конуса попала в центр нижнего основания цилиндра, а образующие наклонены к основанию под углом 45°. Нужно доказать, что объем тела, получаемого изъятием из цилиндра вышеописанного конуса, будет равен объему лолушара.

Рис. 405.

Рис. 406.

На рис. 406 оба тела — цилиндр с высверленной в нем конической воронкой и полушар — поставлены основаниями на одну плоскость и имеют равные высоты. В соответствии с принципом Кавальери равенство их объемов будет установлено, если будет показано, что площади сечений обоих тел произвольной плоскостью, параллельной плоскости их оснований, равны. Рассечем наши тела плоскостью, проведенной на любой высоте .

Имеем для сечения полушара

Сечение второго тела имеет форму кольца, и потому площадь его находится как разность площадей двух кругов:

Теперь мы видим, что площади обоих сечений равны при любом значении и, следовательно, равенство объемов доказано. Остается провести небольшое вычисление; объем цилиндра равен

объем конуса составляет одну треть объема цилиндра, на долю же их разности остается две трети объема цилиндра: . Таким образом, объем полушара равен и окончательно для объема шара имеем формулу

Рис. 407.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсеченная от него плоскостью (рис. 407). Всякая плоскость, пересекающая шар, разбивает его на два сегмента. Объем шарового сегмента находится при помощи тех же рассуждений из рис. 406, стоит лишь взять не все тело («цилиндр без конуса»), а его часть, отсеченную плоскостью, параллельной основанию. Рассмотрим, например, шаровой сегмент, лежащий выше секущей плоскости, проведенной на высоте от плоскости основания полушара, т.е. на расстоянии от верхней точки полушара. Величина h называется стрелкой сегмента. Искомый объем будет равен разности объемов цилиндра радиуса R с высотой h и усеченного конуса; так как радиус малого основания конуса равен то получаем для объема сегмента

Раскрывая скобки и упрощая выражение, приведем его к виду

Эта формула выведена для сегмента, стрелка которого не превосходит радиуса шара. Она остается верна и для сегмента с любой стрелкой

Пусть сегмент со стрелкой дополнительный к сегменту со стрелкой . Вычислим его объем как разность объемов шара и сегмента со стрелкой h:

Заменим здесь h через .

Раскрывая скобки и производя упрощения, получим

т. е. точно такую же формулу, как и раньше.

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями (рис. 408).

Рис. 408.

Рис. 409.

Объем шарового слоя можно найти как разность объемов двух шаровых сегментов, и запоминать отдельную формулу для его вычисления нет надобности.

Рассмотрим теперь конус вращения с вершиной в центре шара (рис. 409). Часть шара, лежащая внутри такого конуса, называется шаровым сектором. Шаровой сектор разлагается на два тела: шаровой сегмент высоты h и конус высоты Читатель сам может доказать, что шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Ее радиус равен

Плоскость этой окружности и разбивает сектор на две указанные части. Для объема сектора находим, пользуясь формулами, выражающими объемы сегмента и конуса:

Если а — угол между осью и образующей конуса, то

и формула для объема сектора примет вид

Понятие сектора шара обобщается на случай внешней области конуса (угол а заменится углом формула останется верной и для этого случая).

Задача 1. Найти объем сегмента, отсекаемого от шара радиуса R гранью вписанного в шар куба (при ее продолжении).

Решение. Диагональ куба, вписанного в шар, является диаметром шара.

Рис. 410.

Рис. 411.

Отсюда имеем для ребра куба Стрелка сегмента, объем которого мы должны определить, равна

и по формуле для объема сегмента шара находим

Задача 2. Найти объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с ребром основания, равным а, и плоским углом при вершине, равным а (рис. 411).

Решение. В этой, как и в других аналогичных задачах, полезно использовать общее замечание, относящееся к вычислению радиуса шара, вписанного в выпуклый многогранник (т. е. касающегося каждой из граней). Представим себе, что в центре шара мы поместим вершину ряда пирамид, основаниями которых будут грани многогранника. Радиус шара будет служить высотой каждой из этих пирамид.

Тогда объем многогранника V можно вычислить как сумму объемов указанных пирамид; объем каждой из них будет равен одной трети произведения ее высоты (т. е. радиуса вписанного в многогранник шара) на площадь ее основания (т. е. на площадь соответствующей грани многогранника). Сумма объемов пирамид будет равна одной трети произведения радиуса вписанного шара на полную поверхность многогранника: . В нашем случае площадь основания пирамиды (рис. 411)

площадь одной из боковых граней

полная площадь поверхности пирамиды

Высота пирамиды как катет треугольника , равна

Рис. 412.

Объем пирамиды

Для радиуса вписанного шара находим