59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды.

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле

где с — ребра прямоугольного параллелепипеда. Исходя из этой формулы можно получить формулу для объема куба. Объем куба находят по формуле

где а — ребро куба.

Иногда говорят, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров или произведению площади его основания на высоту. Последнее утверждение верно и для любого параллелепипеда.

На рисунке 182 изображен наклонный параллелепипед. Его объем равен где — площадь основания, а — высота наклонного параллелепипеда.

Молено вывести правило нахождения объема любой призмы (в том числе и наклонной).

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту:

В случае прямой призмы (рис. 183) высота ее совпадает с боковым ребром и объем прямой призмы равен произведению площади основания на боковое ребро.

Объем любой пирамиды находится по формуле

где — площадь основания, — высота пирамиды.

На рисунке 184 изображен правильный тетраэдр с ребром а. Его объем равен V.

Пример. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань — прямоугольники, площади которых соответственно равны угол между их плоскостями равен 30°. Одна из боковых граней параллелепипеда имеет площадь Найти объем параллелепипеда.

Решение. Пусть в параллелепипеде грани — прямоугольники. Тогда ребро перпендикулярно грани Дальнейшие вычисления можно выполнить, не находя длин этих отрезков. Имеем

Перемножив эти равенства почленно, получим откуда