255. Усеченный конус и усеченная пирамида.
Если от пирамиды (или от конуса) отсечь часть плоскостью, параллельной основанию тела, то оставшаяся часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой (усеченным конусом). На рис. 398 показана пирамида; отбрасывая ее часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: 
или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид.
Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так, площади оснований обеих пирамид (т. е. площади оснований усеченной пирамиды) относятся, как
Здесь означает площадь нижнего основания, a 
-площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов. Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров: например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда нашеправило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третьей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченного конуса и усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.
Рис. 398.
Пусть на рис. 398 показана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований, равными 
. Если представить себе, что она дополнена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полной пирамиды и малой пирамиды легко найти как 
. Высота усеченной пирамиды выражается как 
. Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через 
обозначены объемы полной и малой пирамид)
но
и окончательно получаем формулу
В частном случае полной пирамиды 
если 
, то имеем объем призмы 
Та же формула, как видно из ее вывода, остается верна и для конуса. Если даны радиусы 
и оснований усеченного конуса, то 
и формула примет вид
Выведем еще формулу площади а боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры 
оснований и длину апофемы а (рис. 398). Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема.
Дополняем пирамиду верхней частью, имеем 
где 
- коэффициент подобия, 
и 
-периметры оснований, а 
- площади боковых, поверхностей всей полученной пирамиды и ее верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем 
и 
- апофемы пирамид, 
и окончательно имеем
Та же формула остается верной (вывод не изменится) и для усеченного конуса. Если радиусы оснований 
а образующая 
то получаем
При 
отсюда, в частности, имеем площадь боковой поверхности полного конуса, при 
- площадь цилиндра.
Задача 1. Основания усеченного конуса имеют радиусы, равные 
. Площадь его боковой поверхности равна сумме площадей оснований. Найти угол наклона образующих к плоскости большего основания.
Решение. Образующая конуса находится как 
где 
- искомый угол. Условие задачи дает нам равенство
Отсюда 
Рис. 399.
Рис. 400.
Задача 2. Найти объем усеченного конуса, если одно его основание вписано в основание куба с ребром а, а другое описано вокруг противоположной грани того же куба.
Решение. Радиусы большего и меньшего оснований равны 
соответственно (рис. 400). Высота конуса а.
Искомый объем
Упражнения
1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно l, а двугранный угол при ребре основания а. Найти боковую поверхность и объем пирамиды.
2. Найти полную поверхность и объем конуса, вписанного в правильный тетраэдр с ребром а.
3. Конус усечен плоскостью, параллельной его основанию, так, что высота усеченного конуса равна одной четверти высоты полного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна площади его меньшего основания. Найти угол наклона образующих к плоскости основания конуса.
