§ 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Математическое моделирование.

Дифференциальные уравнения являются одним из самых могучих средств для математического решения практических задач. Особенно широко они используются в теоретической механике и физике.

Математическое исследование любой задачи, касающейся реального мира, распадается на три основных этапа:

а) построение математической модели явления;

б) изучение этой математической модели и получение решения соответствующей математической задачи;

в) приложение полученных результатов к практическому вопросу, из решения которого возникла данная математическая модель, и отыскание других вопросов, к которым она приложима.

Например, некоторые методы математики, возникшие впервые при изучении вопросов гидродинамики, оказались приложимы к аэродинамике, теории электрических и магнитных полей, теории гравитации и многим иным областям физики и техники.

При построении математической модеди явления или процесса необходимы его идеализация и формализация. При идеализации явления отделяются условия, существенно влияющие на него, от условий, не оказывающих существенного влияния (по крайней мере, в том приближении, в котором мы решаем задачу). Например, при изучении движения маятника в первом приближении пренебрегают сопротивлением воздуха, трением в точке подвеса, гибкостью или, формой груза и т. д. Так возникает идеализированная схема изучаемого явления, называемая в физике математическим маятником. Исследование этой

идеализированной схемы можно уже формализовать, составив дифференциальное уравнение движения.

Ниже мы увидим, что оно имеет вид: , где угол отклонения нити от вертикального направления, ее длина, g — ускорение свободного падения. Это уравнение не решается в квадратурах, но при малых значениях справедливо приближенное равенство позволяющее заменить полученное уравнение более простым, а именно уравнением . Это уравнение мы уже умеем решать (см. с. 5—6), причем решение выражается через тригонометрические функции. Тем самым задача свелась к применению хорошо изученной математической модели тригонометрических функций, также возникших в связи с решением практических задач астрономии.

Разумеется, необходимо еще исследовать, в каких границах допустимы сделанные упрощения, как будет меняться решение при учете отброшенных факторов и т. д. Например, учет сопротивления воздуха приведет к тому, что решение примет вид затухающих колебаний (см. ниже с. 151). Далее следует выяснить, какие еще явления описываются той же самой формализованной математической моделью (к ним относятся различного вида колебания жидкостей и газов, электромагнитные колебания и др.).