Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И СИСТЕМ ТАКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Поле направлений.

В физике часто используют понятие векторного поля, т. е. функции, ставящей в соответствие каждой точке некоторой области Q вектор. Например, при изучении течения жидкости каждой точке ставят в соответствие вектор скорости течения в этой точке. При изучении системы электрических или магнитных зарядов каждой точке М ставится в соответствие вектор силы, с которой эта система действует на помещенный в М единичный (пробный) заряд; эти векторы образуют линии индукции магнитного поля данной системы зарядов.

Если отвлечься от длин векторов, образующих векторное поле, а учитывать лишь их направления, получим поле направлений — каждой точке области соответствует определенное направление.

Определение. Полем направлений в области Q называется функция, ставящая в соответствие каждой точке М этой области определенное направление (или, иначе, прямую, проходящую через данную точку).

Предположим, что область Q и все направления поля лежат в одной и той же плоскости (в этом случае поле направлений называется плоским). Выберем на плоскости систему координат. Тогда направление поля в точке задается функцией , где k — угловой коэффициент направления в данной точке (т. е. тангенс угла , образованного полем с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемого против часовой стрелки). В точках, где поле параллельно оси ординат, считаем, что .

Пример 1. Пусть поле задано равенством . Тогда в точке поле образует с положительным

направлением оси абсцисс такой угол что . А в точке угол таков, что

При построении поля направлений, заданного формулой удобно использовать так называемые изоклины, т. е. линии, вдоль которых поле имеет одно и то же направление. Изоклины поля задаются равенствами вида

Пример 2. Построим поле направлений, заданное равенством

Решение. Изоклины этого поля направлений задаются равенством а потому являются прямыми, проходящими через начало координат (сама точка выбрасывается из этих прямых, так как при дробь — не имеет числового значения).

Для прямой угловой коэффициент поля равен С, т. е. совпадает с угловым коэффициентом изоклины. Поэтому поле имеет вид, изображенный на рисунке 12.

Пример 3. Построим поле направлений, заданное равенством

Решение. В данном случае изоклины задаются формулами потому тоже являются прямыми, проходящими через начало координат, из которых выброшена точка . Но в данном случае угловой коэффициент изоклины равен а угловой коэффициент поля направлений на этой изоклине равен С. Так как

Рис. 12

то изоклины в каждой точке (кроме точки ) перпендикулярны направлению поля в этой точке. Поле направлений и изоклины показаны на рисунке 13.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Пример 4. Построим поле направлений, заданное равенством

Решение. В данном примере изоклины задаются равенством т. е. являются окружностями с центром в начале координат. При получаем «окружность нулевого радиуса», т. е. точку этой точке и потому поле параллельно оси абсцисс. На окружности радиуса 1 имеем: и потому поле образует угол — с положительным направлением оси абсцисс. Это поле направлений и его изоклины изображены на рисунке 14.