Дифференциальные уравнения
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ Вопросы для самопроверки Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 2. Линейные уравнения первого порядка. 3. Однородные уравнения. 4. Уравнения в полных дифференциалах. 5. Определение типа дифференциального уравнения. Вопросы для самопроверки § 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи. 3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений. 4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории. 5. Решение задач с помощью интегральных уравнений. Упражнения § 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 1. Понижение порядка дифференциального уравнения. 2. Системы дифференциальных уравнений. Вопросы для самопроверки Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Поле направлений. 2. Поле направлений и дифференциальные уравнения. Вопросы для самопроверки § 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у' = f(x,y). 2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка. 3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды. 4. Приближенное решение дифференциальных уравнений. Вопросы для самопроверки § 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 1. Общее и частное решения дифференциального уравнения. 2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у' = f(x, у). 3. Огибающая семейства плоских кривых. 4. Уравнение Клеро. Вопросы для самопроверки Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 1. Линеаризация уравнений и систем уравнений. 2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений. 3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства. 4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения. 5. Определитель Вронского. 6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений. 7. Формула Остроградского. 8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка. 9. Метод вариации произвольных постоянных. Вопросы для самопроверки § 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Алгебра дифференциальных операторов. 2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай). 4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса). 5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание). Вопросы для самопроверки § 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС 1. Колебания под действием упругой силы пружины. 2. Колебательный контур. Вопросы для самопроверки § 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 2. Вывод уравнения колебаний струны. 3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера. |