Дифференциальные уравнения

Научная библиотека

Научная библиотека

Дифференциальные уравнения

Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. / Н. Я. Виленкин, М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов.— М.: Просвещение, 1984. — 176 с.

Основное внимание в пособии уделяется развитию у студентов навыков решать физические и геометрические задачи с помощью дифференциальных уравнений. Структура пособия обеспечивает самостоятельную работу студентов по изучению данного курса. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными подробно решенными примерами.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы для самопроверки
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
2. Линейные уравнения первого порядка.
3. Однородные уравнения.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Определение типа дифференциального уравнения.
Вопросы для самопроверки
§ 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи.
3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений.
4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории.
5. Решение задач с помощью интегральных уравнений.
Упражнения
§ 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Понижение порядка дифференциального уравнения.
2. Системы дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Поле направлений.
2. Поле направлений и дифференциальные уравнения.
Вопросы для самопроверки
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у’ = f(x,y).
2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка.
3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды.
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
§ 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Общее и частное решения дифференциального уравнения.
2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у’ = f(x, у).
3. Огибающая семейства плоских кривых.
4. Уравнение Клеро.
Вопросы для самопроверки
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Линеаризация уравнений и систем уравнений.
2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений.
3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства.
4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения.
5. Определитель Вронского.
6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений.
7. Формула Остроградского.
8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка.
9. Метод вариации произвольных постоянных.
Вопросы для самопроверки
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Алгебра дифференциальных операторов.
2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай).
4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса).
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание).
Вопросы для самопроверки
§ 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
1. Колебания под действием упругой силы пружины.
2. Колебательный контур.
Вопросы для самопроверки
§ 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2. Вывод уравнения колебаний струны.
3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера.