7. Формула Остроградского.

Пусть L — приведенный линейный дифференциальный оператор порядка

коэффициенты которого непрерывны на промежутке X. Возьмем какую-нибудь фундаментальную систему решений дифференциального уравнения и обозначим вронскиан у этой системы решений через .

Теорема. Для любых двух точек их промежутка X, выполняется равенство

Это равенство называют формулой Остроградского.

Доказательство. Проведем доказательство при . В этом случае имеем:

Значит,

Но по условию являются решениями дифференциального уравнения

и потому

Находя из этих равенств значения и подставляя в равенство (2), получаем, что

Итак, мы доказали, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными:

Решая это уравнение, получаем, что

и потому а это означает, что

Значит, и потому .

Замечание. Формула (1) вновь подтверждает, что если определитель Вронского отличен от нуля в точке то он отличен от нуля и в любой другой точке промежутка X, где непрерывен коэффициент обращается в некоторой точке в бесконечность, то может обратиться в бесконечность и интеграл а тогда в этой точке вронскиан может обратиться в нуль).