7. Формула Остроградского.
Пусть L — приведенный линейный дифференциальный оператор
порядка
коэффициенты
которого непрерывны на промежутке X. Возьмем какую-нибудь фундаментальную систему решений
дифференциального уравнения
и обозначим вронскиан
у этой системы решений через
.
Теорема. Для любых двух точек
их промежутка X, выполняется равенство
Это равенство называют формулой Остроградского.
Доказательство. Проведем доказательство при
. В этом случае имеем:
Значит,
Но по условию
являются решениями дифференциального уравнения
и потому
Находя из этих равенств значения
и подставляя в равенство (2), получаем, что
Итак, мы доказали, что функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка с разделяющимися переменными:
Решая это уравнение, получаем, что
и потому
а это означает, что
Значит,
и потому
.
Замечание. Формула (1) вновь подтверждает, что если определитель Вронского отличен от нуля в точке
то он отличен от нуля и в любой другой точке
промежутка X, где непрерывен коэффициент
обращается в некоторой точке
в бесконечность, то может обратиться в бесконечность и интеграл
а тогда в этой точке вронскиан может обратиться в нуль).