Вопросы для самопроверки

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

Вопросы для самопроверки

1. Как понижают порядок дифференциального уравнения, если оно:

а) не содержит явно искомой функции;

б) не содержит в явном виде независимой переменной?

2. Как записать уравнение высшего порядка в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка?

Упражнения

Найдите общее решение заданных уравнений:

167. Из общего интеграла уравнения выделите интегральную кривую, проходящую через точку и касающуюся в этой точке прямой

168. Найдите семейство кривых, для которых отношение радиуса кривианы к длине нормали равно 2.

Выделите кривую, для которой

169. Найдите семейство кривых, у которых радиус кривизна равен длнно нормали.

170. Если тело не слишком быстро погружается в воду, то сопротивление воды можно считать пропорциональным скорости. Найдите закон движения тяжелой материальной точки, погружающейся в воду, если начальная скорость равна нулю.

171. Тяжелое тело скользит по наклонной плоскости. Найдите закон движения, если угол наклона плоскости к горизонтальной поверхности равен а, коэффициент трения к,

172. Материальная точка массой движется по прямой под действием ньютоновского притяжения к массе М, помещенной в начало координат. В начале движения она находилась в точке А (0) и ее начальная скорость равнялась Какой должна быть начальная скорость, чтобы расстояние от движущейся точки до начала координат могло неограниченно увеличиваться (вторая космическая скорость)? Выразите вторую космическую скорость через и а — ускорение силы тяготения в точке

173. Материальная точка массой падает под действием силы тяжести с высоты . Найдите закон движения точки, если сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

174. Материальная точка массой движется по прямолинейному пути к центру, притягивающему ее с силой где — расстояние от точки до центра. Через какое время точка достигнет центра, если движение начинается с состояния покоя при

175. Материальная точка массой отталкивается от прямой с силой, пропорциональной расстоянию от точки до этой прямой, коэффициент пропорциональности . В начальный момент расстояние от точки до прямой равно а, а начальная скорость равна и направлена параллельно прямой. Напишите уравнение траектории, по которой движется точка.

176. Запишите дифференциальное уравнение высшего порядка в виде системы уравнений первого порядка:

177. Исключите функцию из системы дифференциальных уравнений:

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы для самопроверки
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
2. Линейные уравнения первого порядка.
3. Однородные уравнения.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Определение типа дифференциального уравнения.
Вопросы для самопроверки
§ 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи.
3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений.
4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории.
5. Решение задач с помощью интегральных уравнений.
Упражнения
§ 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Понижение порядка дифференциального уравнения.
2. Системы дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Поле направлений.
2. Поле направлений и дифференциальные уравнения.
Вопросы для самопроверки
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у’ = f(x,y).
2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка.
3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды.
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
§ 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Общее и частное решения дифференциального уравнения.
2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у’ = f(x, у).
3. Огибающая семейства плоских кривых.
4. Уравнение Клеро.
Вопросы для самопроверки
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Линеаризация уравнений и систем уравнений.
2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений.
3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства.
4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения.
5. Определитель Вронского.
6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений.
7. Формула Остроградского.
8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка.
9. Метод вариации произвольных постоянных.
Вопросы для самопроверки
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Алгебра дифференциальных операторов.
2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай).
4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса).
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание).
Вопросы для самопроверки
§ 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
1. Колебания под действием упругой силы пружины.
2. Колебательный контур.
Вопросы для самопроверки
§ 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2. Вывод уравнения колебаний струны.
3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера.