Упражнения

Геометрические задачи

114. Найдите кривую, проходящую через точку для которой отрезок касательной между точкой касания и осью делится пополам в точке пересечения с осью

115. Найдите кривую, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что отрезок любой касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.

116. Найдите кривую, проходящую через точку зная, что абсцисса точки пересечения касательной в произвольной точке кривой с осью равна удвоенной абсциссе - точки касания.

117. Определите кривые, для которых площадь прямоугольника, построенного на отрезках, отсекаемых касательной в любой точке кривой на осях координат, в четыре раза больше площади прямоугольника, построенного на отрезках перпендикуляров, опущенных из точки кривой на оси координат.

118. Определите кривые, зная, что сумма координат точек пересечения касательной к кривой с осями координат в два раза больше суммы координат точки касания.

119. Найдите кривую, проходящую через точку для которой абсцисса точки пересечения касательной в произвольной точке с осью абсцисс равна абсциссы точки касания.

120. Найдите кривую, зная, что ордината точки пересечения нормали в произвольной точке кривой с осью ординат равна удвоенной ординате этой точки.

121. Найдите кривые, для которых расстояние от начала координат до точки на кривой равно длине отрезка касательной, заключенного между этой точкой и осью абсцисс.

122. Найдите кривые, для которых угол между радиус-вектором, проведенным в точку М кривой, и касательной, проведенной в точке М, постоянен и равен а.

123. Найдите кривые, для которых проекция на ось абсцисс

отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс, равна среднему арифметическому координат точки касания.

124. Найдите кривые, для которых отношение отрезка оси абсцисс, отсекаемого перпендикуляром к касательной, к радиус-вектору точки касания есть величина постоянная, равная к.

125. Определите кривые, для которых площадь прямоугольника с вершинами в начале координат, в точке кривой с положительной абсциссой и в проекциях этой точки на оси координат равна площади треугольника с вершинами в той же точке кривой, в ее проекции на ось и в точке пересечения касательной с осью

126. Найдите кривую, проходящую через точки и и ограничивающую криволинейную трапецию с основанием площадь которой пропорциональна

Указание. Используйте выражение площади криволинейной трапеции через определенный интеграл.

Естественнонаучные задачи

127. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества вещества, если известно, что количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в распоряжении в данный момент.

128. Время, в течение которого первоначальное количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое, называется его периодом полураспада. Определите время, в течение которого из 10 г вещества останется 1 г, если период полураспада этого вещества составляет 1 год.

129. Культуре из 100 бактерий предоставлена возможность размножаться при благоприятных условиях. Через обнаруживается, что культура содержит 500 бактерий. Сколько бактерий будет через 2 суток после начала опыта?

130. Культуре из 400 бактерий предоставлена возможность размножаться при благоприятных условиях. Через число бактерий увеличилось в два раза. Через сколько часов их будет в 16 раз больше?

131. Количество света, поглощаемое слоем воды, пропорционально количеству падающего на него света. Слой воды толщиной поглощает половину первоначального количества света. Какая часть первоначального количества света дойдет до глубины

Метр толщины стекла определенного сорта поглощает света, проходящего через него. Какой толщины надо взять стекло, чтобы оно поглощало только 1%. проходящего света?

Указание. Использовать закон поглощения света слоем воды (см. задачу 131).

133. Если десятиметровый слой воды поглощает 40% света, падающего на ее поверхность, то на какой глубине дневной свет солнца будет равен лунному, яркость которого составляет яркости дневного света на поверхности воды?

134. На сколько увеличится длина l эластичного шнура под действием его веса если подвесить шнур за один конец, а к нижнему концу подвесить груз

Указание. Использовать закон Гука; эластичный шнур длиной l под действием натягивающей силы F получает приращение длины, равное константа, зависящая от материала шнура).

135. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака, диаметр основания которого и высота через отверстие в дне диаметром 6 см (считая, что ось цилиндра вертикальна)?

136. За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметра вытечет через круглое отверстие в дне чаши диаметром

137. В баке находится раствора, содержащего 5 кг соли. В бак непрерывно подается вода со скоростью в минуту, которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько соли в баке останется через час?

138. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью На полном ходу мотор был выключен, и через 40 с скорость ее стала равной Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки, определите скорость лодки через 2 мин после выключения мотора.

139. Пуля, летевшая со скоростью пробивает доску толщиной 40 см и вылетает с другой стороны доски со скоростью Сколько времени пуля пробивала доску, если сопротивление доски движению пули пропорционально скорости пули?

140. Тело, нагретое до температуры остывает на воздухе, температура которого равна 20°. Через 5 мин после начала остывания температура тела равна 60°. Через какое время оно остынет до температуры 25°, если скорость остывания пропорциональна разности температуры тела и воздуха?

141. Скорость химической реакции пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ, причем в процессе реакции молекула одного вещества реагирует с молекулой другого вещества. Какое количество вещества образуется через t с, если начальная концентрация первого вещества равна а второго

При некоторых химических реакциях вещество, образующееся в ходе реакции, действует как катализатор, увеличивающий скорость реакции. В этом случае скорость реакции пропорциональна как произведению концентраций реагирующих веществ, так и некоторой линейной функции от концентрации образующегося вещества (концентрация выражена в молях на кубический метр). Какое количество вещества образуется через t с после начала реакции, если первоначальные концентрации реагентов равны а линейная функция имеет вид

Решите задачу 142 при условии: катализатор реакции — первое из участвующих в ней веществ.

144. Скорость возрастания численности некоторой популяции животных зависит от двух факторов — положительного и отрицательного. При положительном факторе численность популяции животных возрастает со скоростью, пропорциональной количеству животных в данный момент, при отрицательном — убывает со скоростью, пропорциональной квадрату численности популяции. Напишите закон изменения количества животных с течением времени, если первоначальная численность популяции равнялась а.

145. Сосуд объемом содержит 80% азота и 20% кислорода.

В сосуд каждую секунду втекает азота и вытекает столько же смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99 % азота?

146. Докажите, что для тяжелой жидкости, вращающейся вокруг вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида вращения.

147. Материальная точка массой подброшена вертикально вверх с начальной скоростью Найдите закон изменения скорости у, если на точку, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная квадрату скорости (коэффициент пропорциональности равен к).

148. Радиоактивное вещество А в момент времени содержит известное число атомов Вещество А распадается, образуя вещество В, которое тоже распадается. Найдите закон указанного радиоактивного распада, считая число атомов вещества В в момент времени равным нулю:

149. Найдите закон изменения силы тока в цепи с самоиндукцией L, если при

150. Найдите кривые, для которых площадь треугольника, образованного осью касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна

151. Найдите кривую, средняя ордината которой на отрезке т. е. величина пропорциональна ординате, соответствующей правому концу отрезка

152. Найдите у из интегрального уравнения

Составьте дифференциальные уравнения заданных семейств кривых:

157. - параметр.

158. . Изобразите кривые (окружности) для значении

159. Составьте дифференциальное уравнение семейства парабол, проходящих через точку и касающихся оси

160. Составьте уравнения семейства окружностей, касающихся оси центры которых лежат на прямой и найдите дифференциальное уравнение этого семейства.

161. Найдите ортогональные траектории семейства кривых: