6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений.

Если задана система линейно независимых функций имеющих непрерывные производные до порядка включительно на промежутке X, то существует одно и только одно приведенное однородное линейное дифференциальное уравнение порядка, для которого эти функции образуют фундаментальную систему решений (т. е. базис в пространстве решений). Чтобы доказать это утверждение, надо сначала написать приведенное уравнение порядка с данной системой решений, а потом доказать, что иных приведенных уравнений с той же фундаментальной системой решений не существует.

Требуемое уравнение составляется так: приравниваем к нулю определитель порядка

Разложив его по элементам первой строки, получим уравнение вида

где алгебраическое дополнение элементов первой строки определителя (1). В частности, коэффициент при может отличаться лишь знаком от минора

т. е. от вронскиана Поскольку по условию решения линейно независимы, этот вронскиан отличен от нуля на промежутке X. И потому можно разделить на него обе части уравнения, получив искомое приведенное уравнение с данной фундаментальной системой решений

Пример. Напишем приведенное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее фундаментальную систему решений: .

Решение. Составляем определитель третьего порядка

и приравниваем его к нулю. Раскрывая определитель, получаем:

Значит, приведенное уравнение имеет вид:

Его особыми точками являются точки, где или т. е. точки .

Нам осталось показать, что другого приведенного уравнения порядка с той же фундаментальной системой решений не существует. Проведем доказательство от противного. Предположим, что функции образуют фундаментальную систему решений как для уравнения так и для уравнения где L и М — различные приведенные дифференциальные операторы порядка. Тогда для любого k имеем: а потому и

— Это означает, что функции образуют линейно независимую систему решений уравнения

Но порядок этого уравнения меньше (при вычитании приводятся к нулю старшие слагаемые, которые равны ). Поэтому размерность пространства решений для тоже меньше , и, значит, в нем не может быть линейно независимых функций. Полученное противоречие показывает, что функции не могут удовлетворять двум различным приведенным линейным дифференциальным уравнениям порядка, т. е. они образуют фундаментальную систему решений лишь для одного такого уравнения.