4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса).

Рассмотрим теперь случай, когда в уравнении

коэффициент а в показателе является одним из корней характеристического уравнения, например . Запишем уравнение в виде

По теореме 2 п. 1 применение оператора к выражению вида , где многочлен от понижает на единицу степень этого многочлена, а применение оператора не меняет степени многочлена. Поэтому ясно, что частное решение уравнения (Г) надо искать в виде где многочлен степени неопределенными коэффициентами. При этом следует учесть, что оператор обращает слагаемое вида в нуль, а потому такое слагаемое можно отбросить. Тогда будет иметь вид:

или, короче , где многочлен степени с неопределенными коэффициентами.

В случае же, когда а — корень характеристического

многочлена для L кратности 2, т. е. уравнение имеет вид:

Оператор понижает степень множителя при на 2 единицы, и потому частное решение надо искать в виде произведения на многочлен степени При этом оператор обращает в нуль выражение и потому в частном решении можно отбросить соответствующие слагаемые. Иными словами, частное решение можно искать в виде

или, короче, в виде

Аналогичный вид имеет частное решение в случае любого уравнения вида если является одним из корней характеристического многочлена для L кратности Именно справедливо следующее утверждение:

Пусть число а является корнем кратности s характеристического многочлена для оператора L, а многочлен степени . Тогда частное решение уравнения

следует искать в виде

где многочлен степени с неопределенными коэффициентами. Для нахождения этих коэффициентов надо подставить выражение (3) в уравнение (2) вместо у, сократить на и приравнять коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях Из полученной системы находим искомые коэффициенты.

Замечание. В случае, когда уравнение имеет вид: где число 0 является корнем характеристического многочлена имеющим кратность s, и потому частное решение надо искать в виде

Пример. 1. Найдем частное решение уравнения

Решение. Так как в правой части имеем многочлен второй степени от а младшая входящая в уравнение (4)

производная имеет порядок 3, будем искать частное решение в виде

Подставляя это выражение вместо у в (4), получаем:

Выполняя дифференцирование и приводя подобные члены, находим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получаем:

Решая эту систему уравнений, получаем:

Значит,

Пример 2. Найдем общее решение уравнения

Решение. Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет вид: Оно имеет корень 3 второй кратности, и потому общее решение однородного уравнения имеет вид: Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Множитель при в правой части уравнения (5) имеет первую степень, причем коэффициент 3 при в показателе является корнем второй кратности характеристического уравнения. Поэтому ищем частное решение в виде

Но тогда

Подставляя выражения вместо в уравнение (5) и сокращая обе части уравнения на получаем после приведения подобных членов равенство

Из него находим: Значит, частное решение имеет вид: , а общее решение равно сумме этого частного решения и общего решения однородного уравнения:

В случае, когда правая часть уравнения имеет вид:

надо найти частные решения уравнений

и сложить их (см. теорему 1 п. 4, § 1).

Пример 3. Для уравнения

частное решений имеет вид:

Подставляя это выражение в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа, находим значения коэффициентов:

Значит,