5. Определение типа дифференциального уравнения.

Для выбора пути решения заданного дифференциального уравнения первого порядка сначала надо определить тип, к которому оно относится. Для этого следует разрешить данное уравнение относительно производной, т. е. привести его к виду . После этого надо посмотреть, не разлагается ли функция на множители, один из которых зависит только от а второй — только от у. Если это возможно, то надо разделить переменные и интегрировать обе части получившегося равенства.

Если переменные не разделяются непосредственно, то следует проверить, является ли данное уравнение линейным или уравнением Бернулли, т. е. имеет ли функция вид или . В этом случае сначала надо решить соответствующее однородное линейное уравнение и, а потом сделать подстановку

К линейным уравнениям сводятся также уравнения вида более общего вида . Для их решения надо поменять ролями переменные х и у и считать функцией от у. В результате для этой функции получим линейное уравнение уравнение Бернулли: .

Например, уравнение если у считать аргументом, функцией, принимает вид т. е. становится линейным относительно Решая его способом, указанным в п. 2, получаем .

Если и этот метод не приводит к цели, следует проверить. не является ли однородной функцией нулевой степени. Для этого надо образовать функцию и проверить, равна ли она при функции . В случае выполнения тождества уравнение решается подстановкой . Наконец, если и этот метод окажется неудачным, то надо записать заданное уравнение в виде

и проверить, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах, т. е. выполняется ли условие