2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка.

Для дифференциальных уравнений высшего порядка справедлива следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы

Теорема 1. Пусть функция от переменных непрерывна в прямоугольном параллелепипеде и имеет в нем непрерывные частные производные по переменным Тогда существует отрезок на котором у равнение имеет единственное решение удовлетворяющее начальным условиям Коши:

Пример. Выясним, при каких значениях выполняются условия теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения

Решение. Имеем:

Правая часть этого уравнения непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , если

т. е. если . При этом условии имеет место существование и единственность решения.

Теорема 1 тоже доказывается путем построения последовательности функций, сходящейся к решению данного уравнения. В качестве I можно взять наименьшее из чисел , где М — наибольшее из значений функций в , a L — наибольшее из значений

Теорема, аналогичная теореме 1, имеет место для систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Теорема 2. Пусть векторная функция непрерывна в прямоугольном параллелепипеде имеет в нем непрерывные частные производные по переменным Тогда существует отрезок на котором система дифференциальных уравнений имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям Коши: где

Эта теорема также доказывается методом последовательных приближений, которые ведутся по формуле

Здесь не компоненты вектора у, а вектор-функции, последовательно получающиеся в ходе приближений. Интеграл от вектор-функции понимается как вектор, получаемый интегрированием каждой компоненты.