Вопросы для самопроверки

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

Вопросы для самопроверки

1. Какими свойствами должна обладать функция в прямоугольнике для того

чтобы через точку проходила одна и только одна интегральная кривая уравнения

2. В чем заключается условие Липшица?

3. Каким уравнением заменяют дифференциальное уравнение и начальное условие для построения последовательных приближений?

4. Напишите формулу для нахождения последовательных приближений.

5. Сформулируйте теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения порядка, разрешенного относительно старшей производной.

6. Сформулируйте теорему существования и единственности для случая, когда функция разлагается в степенной ряд.

7. Перечислите методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Упражнения

Докажите, что через любую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения:

Найдите области, в которых уравнение имеет единственное решение, если:

30. Найдите первые два приближения к решению дифференциального уравнения удовлетворяющему начальному условию

Найдите первые пять приближений к решению дифференциального уравнения удовлетворяющему начальному условию Сделайте предположение о виде приближения и докажите его методом математической индукции. К какой функции стремятся эти приближения при

Найдите три первых приближения к решению дифференциального уравнения удовлетворяющему начальному условию С помощью третьего приближения найдите значение решения при Решите данное уравнение и сравните точный ответ с приближенным.

Для заданных уравнений постройте поле направлений и проведите приближенно интегральные кривые через указанные точки:

С помощью изоклин постройте приближенно интегральные кривые для следующих дифференциальных уравнений:

Найдите первые пять членов разложения в степенной ряд для решений

следующих дифференциальных уравнений, удовлетворяющих указанным начальным условиям:

41. Найдите значение у (0,3), где у — решение дифференциала ного уравнения удовлетворяющее начальному условию.

Найдите начальные условия, при которых для приведенных уравнений нарушаются условия теоремы существования и единственности решений дифференциальных уравнений:

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Вопросы для самопроверки
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
2. Линейные уравнения первого порядка.
3. Однородные уравнения.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Определение типа дифференциального уравнения.
Вопросы для самопроверки
§ 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи.
3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений.
4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории.
5. Решение задач с помощью интегральных уравнений.
Упражнения
§ 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Понижение порядка дифференциального уравнения.
2. Системы дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Поле направлений.
2. Поле направлений и дифференциальные уравнения.
Вопросы для самопроверки
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у’ = f(x,y).
2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка.
3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды.
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
§ 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Общее и частное решения дифференциального уравнения.
2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у’ = f(x, у).
3. Огибающая семейства плоских кривых.
4. Уравнение Клеро.
Вопросы для самопроверки
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Линеаризация уравнений и систем уравнений.
2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений.
3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства.
4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения.
5. Определитель Вронского.
6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений.
7. Формула Остроградского.
8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка.
9. Метод вариации произвольных постоянных.
Вопросы для самопроверки
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Алгебра дифференциальных операторов.
2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай).
4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса).
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание).
Вопросы для самопроверки
§ 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
1. Колебания под действием упругой силы пружины.
2. Колебательный контур.
Вопросы для самопроверки
§ 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2. Вывод уравнения колебаний струны.
3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера.