4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения.

Пусть

линейный дифференциальный оператор порядка. Уравнение вида т. е.

является линейным дифференциальным уравнением порядка.

Из формулы (2) п. 3 вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Пусть функции являются соответственно решениями уравнений с одинаковой левой частью, а . Тогда функция является решением уравнения , где

Доказательство. По условию для любого выполняется равенство Следовательно, в силу формулы (2) п. 3 имеем:

Это и означает, что функция У удовлетворяет уравнению .

В случае, когда все равны нулю, при любых значениях функция тоже равна нулю, и отсюда получаем: Следствие. Если функции являются решениями однородного линейного дифференциального уравнения то любая линейная комбинация этих функций является решением этого же уравнения.

Доказанное утверждение означает, что совокупность решений уравнения образует линейное пространство Обозначим это пространство решений через и найдем размерность пространства . Напомним, что векторы линейного пространства называют линей

но зависимыми, если хотя бы один из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных векторов, например:

Если такого выражения не существует, то векторы называют линейно независимыми. В этом случае равенство может выполняться в том и только в том случае, когда все числа равны нулю.

Базисом пространства называют систему линейно независимых векторов такую, что любой вектор у из можно представить в виде их линейной комбинации

Число векторов в базисе называют размерностью простран ства .

Указанные понятия применимы к любой системе функций, заданной на некотором промежутке X, если она образует линейное пространство (т. е. вместе с двумя функциями содержит их сумму, а вместе с каждой функцией все произведения ).

Именно функции называют линейно независимыми на промежутке X, если из того, что функция тождественно равна нулю на X, вытекает, что все коэффициенты равны нулю. Если функции Ф и линейно независимы на X, то их частное непостоянно на X. Обратно, если частное функций не является нулевой функцией) непостоянно на X, то линейно независимы на X.

Предположим, что на промежутке X непрерывны все коэффициенты приведенного однородного линейного уравнения где

Тогда на этом промежутке X для уравнения выполнена теорема существования и единственности. Поэтому, если выбрать на X любую, точку то для любой системы чисел найдется одно и только одно решение у уравнения удовлетворяющее начальным условиям: Это значит, что отображение

пространства в пространство (состоящее из числовых кортежей длины ) взаимно однозначно. Это отображение в то же время линейно. В самом деле,

Поэтому пространства изоморфны и, значит, имеют одинаковую размерность. Но размерность пространства равна . Поэтому и размерность пространства тоже равна . Мы доказали следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть на промежутке X непрерывны коэффициенты приведенного однородного линейного дифференциального уравнения порядка :

Тогда размерность пространства решений того уравнения на промежутке X равна .

Эта теорема означает, что существуют решений уравнения на X, которые линейно независимы, причем любое решение у этого уравнения на X является линейной комбинацией указанных решений:

Поскольку в выражение (5) входят произвольных постоянных и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение у уравнения (4) (а тем самым удовлетворить любым начальным условиям Коши), то (5) является общим решением уравнения (4).

Итак, мы доказали следующее утверждение: Теорема 3. Пусть на X непрерывны коэффициенты приведенного однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка. Тогда общее решение этого уравнения на X имеет вид: где

любая система, состоящая из линейно независимых решений данного уравнения.

Систему функций, образующую базис в пространстве решений линейного однородного уравнения порядка называют фундаментальной системой решений этого уравнения. Фундаментальная система решений состоит из линейно независимых решений этого уравнения.