3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды.

Первоначально теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка была доказана Коши с помощью степенных рядов. При этом ему пришлось налагать на функцию более жесткие ограничения, а именно требовать, чтобы ее можно было разложить в некоторой окрестности точки в ряд по степеням

Теорема. Пусть существует окрестность точки в которой функция является суммой степенного ряда вида

Тогда существует одно и только одно решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию и представляемое в виде степенного ряда:

Эта теорема, доказательство которой мы опускаем, утверждает не только существование искомого решения, но и возможность разложить его в ряд по степеням Но в этой теореме на функцию налагаются более жесткие условия (она должна быть суммой степенного ряда (1), откуда вытекают и ее непрерывность, и непрерывность ее частной производной по Кроме того, единственность доказана лишь в классе функций, разложимых в ряды по степеням и потому не исключается существование других решений, не разложимых в такие ряды.

Приведем пример, показывающий, как находить первые члены разложения в степенной ряд.

Пример 1. Найдем первые пять членов разложения в ряд по степеням для решения уравнения

удовлетворяющего начальному условию

Решение. В нашем случае . Подставляя эти значения в уравнение (3), находим, что . Дифференцируя обе части уравнения (3) по и принимая во внимание, что у — функция от получаем:

Поскольку находим, что Далее, дифференцируя равенство (4) по получаем, что

Отсюда находим, что . Далее получаем: откуда

По формуле Тейлора первые члены разложения у по степеням имеют вид:

Аналогично решаются с помощью степенных рядов уравнения высшего порядка.

Пример 2. Найдем первые четыре члена разложения по степеням для решения уравнения

удовлетворяющего начальным условиям: .

Решение. Из уравнения (6) находим, что . Дифференцируя по обе части уравнения (6), находим, что Значит, Далее, таким же образом находим, что и потому Значит,

Пример 3. Найдем первые четыре члена разложения в ряд по степеням, для решений системы дифференциальных уравнений:

удовлетворяющих начальным условиям: .

Решение. Сначала находим, что Затем получаем: , откуда Далее аналогично определяем, что Значит,