3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства.

Определение 1. Оператором называют отображение L, ставящее в соответствие каждой функции из некоторого множества другую функцию

Пример 1. Оператор умножения на функцию g ставит в соответствие каждой функции Ф функцию Если, скажем, то значение функции в точке равно Оператор умножения на функцию g обозначают просто

Пример 2. Оператор дифференцирования D на промежутке X ставит в соответствие каждой функции дифференцируемой на этом промежутке, ее производную (рассматриваемую на том же промежутке):

Определение 2. Суммой операторов называют оператор L такой, что Его обозначают

Определение 3. Произведением операторов

и называют оператор L такой, что Его обозначают Таким образом, когда применяют к функции оператор то сначала применяют к ней оператор а потом к ней же применяют оператор и результаты складывают. А когда к функции применяют оператор то применяют к оператор и к результату применяют оператор

Пример 3. Оператор ставит в соответствие функции функцию . Вообще,

Пример 4. Оператор ставит в соответствие функции функцию . Оператор же ставит в соответствие той же функции функцию , т. е.

Видим, что . Таким образом, умножение операторов, вообще говоря, не коммутативно. В то же время оно ассоциативно: для любых трех операторов имеем: .

В самом деле, легко проверить, что результат применения обеих частей равенства к функции равен . Кроме того, умножение операторов дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа:

Определение 4. Оператор L называют линейным, если для любых функций которым он применим) и любого числа С выполняются равенства:

и

Пример 5. Оператор умножения на функцию g линеен. В самом деле, если то

и

Пример 6. Оператор дифференцирования линеен. В самом деле, по правилам дифференцирования имеем:

и

Из курса алгебры известно, что сумма и произведение линейных отображений (в частности, линейных операторов) тоже линейны. Иными словами, если линейные операторы, то линейны и операторы Например, имеем:

Из доказанной выше линейности операторов дифференцирования и умножения на функцию вытекает в силу сделанного замечания линейность любого оператора вида

Будем называть его линейным дифференциальным оператором порядка.

Пример 7. Пусть

Вычислим

Решение. Имеем:

и потому

В заключение отметим, что если L — линейный оператор, некоторые функции и некоторые числа, то

В самом деле, при имеем:

Далее доказательство ведется методом математической индукции по .