2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Результаты, полученные в предыдущем пункте, позволяют свести решение однородных линейных дифференциальных

уравнений высшего порядка к решению алгебраических уравнений. В частности, для решения таких уравнений второго порядка достаточно уметь решать квадратные уравнения.

Теорема 1. Пусть характеристический многочлен

линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

имеет два различных корня: . Тогда общее решение уравнения (2) имеет вид:

Доказательство. Мы уже знаем, что уравнение (2) можно записать в виде

причем множители в этом уравнении перестановочны. Так как , то функция является решением уравнения (2). Аналогично доказывается, что также является его решением. Но тогда по следствию из теоремы 1 п. 4, § 1 любая линейная комбинация этих решений также является решением заданного уравнения.

Чтобы доказать, что это решение является общим, надо показать линейную независимость функций Вычислим определитель Вронского:

Так как , а функция не обращается в нуль ни при одном значении , то , и потому решения линейно независимы.

Замечание 1. Линейную независимость решений можно доказать непосредственно. Предположим, что равенство

выполняется при всех значениях . Тогда имеем: функция не является постоянной. Поэтому равенство при может иметь место лишь при условии, что Итак,

при всех x в том и только том случае, когда . Это и значит, что функции линейно независимы.

Замечание 2. Аналогично доказывается, что если характеристический многочлен уравнения порядка имеет различных корней то общее решение этого уравнения имеет вид:

Пример 1. Найдем общее решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое урав нение

Его корнями являются Значит, общее решение уравнения (3) имеет вид:

Рассмотрим теперь случай, когда корни и характеристического уравнения комплексны. Так как мы рассматриваем лишь уравнения с действительными коэффициентами, то эти корни комплексно сопряжены, т. е. имеют вид: Но тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Преобразуем этот ответ к виду, не содержащему комплексных чисел. По формуле Эйлера, имеем:

и потому

Обозначив через через получим:

Чтобы доказать, что (4) также является общим решением дифференциального уравнения, осталось показать, что функции линейно независимы.

Это следует из того, что частное этих функций равно и не является постоянным. Мы доказали следующую теорему:

Теорема 2. Если корни характеристического уравнения для уравнения

комплексно сопряжены: , то общее рещение уравнения (5) имеет вид:

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Характеристическое уравнение для (6) имеет вид:

Его корнями ярляются .

В данном случае . Значит, общее решение уравнения (6) такою:

Замечание 3. Для уравнения

характеристическим является уравнение . Его корни имеют вид: . Поэтому общее решение уравнения (7) таково:

Замечание 4. Аналогично записывается общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка в случае, когда его характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Например, если корнями характеристического уравнения являются числа , то общее решение соответствующего дифференциального уравнения таково:

Нам осталось рассмотреть случай, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень . В этом случае оно имеет вид: а потому дифференциальное уравнение можно представить в виде

По следствию из теоремы 1 п. 4, § 1 вытекает, что любая

функция вида является решением уравнения:

Эта функция является линейной комбинацией решений и хегк.

Покажем, что эти решения линейно независимы. В самом деле, имеем:

Поскольку отлично от нуля при любом , то решения и линейно независимы, а потому общее решение заданного дифференциального уравнения.

Мы доказали следующее утверждение:

Теорема 3. Если характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

имеет корень второй кратности, то общее решение для (8) имеет вид:

Пример 3. Найдем общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение

Оно имеет корень второй кратности. Значит, его общее решение имеет вид:

Замечание 5. Если однородное линейное дифференциальное уравнение порядка и — корень соответствующего характеристического уравнения, имеющий кратность к, то ему соответствует в общем решении группа слагаемых вида

т. е. линейная комбинация решений

Замечание 6. Линейная независимость решений

может быть доказана без ссылки на определитель Вронского. Пусть равенство

выполняется для всех значений Так как не обращается в нуль ни при одном значении то многочлен

тождественно равен нулю. А это может быть лишь при условии, что все коэффициенты этого многочлена равны нулю.

Итак, равенство (9) выполняется лишь при условии, что . А это и значит, что решения линейно независимы.

Пример 4. Напишем общее решение дифференциального уравнения если его характеристическое уравнение имеет корни

Решение. Согласно замечанию 5 общее решение имеет вид:

Аналогично обстоит дело, если характеристическое уравнение имеет кратрые комплексные корни: группе корней

соответствует в общем решении группа членов

Пример 5. Напишем общее решение дифференциального уравнения если характеристическое уравнение имеет корни

Решение. Искомое общее решение имеет вид: