§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у' = f(x,y).

Во всех разобранных в главе I и в § 1 данной главы примерах через каждую точку, не являющуюся особой для уравнения проходила одна и только одна интегральная линия этого уравнения. Например, через любую отличную от начала координат точку плоскости проходит лишь один луч, начинающийся в начале координат (т. е. единственная интегральная линия уравнения , и одна и только одна окружность с центром в начале координат (т. е. единственная интегральная линия уравнения ). Из теорем существования и единственности соответствующие утверждения для разобранных ранее примеров будут следовать как частные случаи.

Следующий пример показывает, что в некоторых случаях через точку может проходить и несколько интегральных кривых уравнения

Пр им Покажем, что через точку проходят по крайней мере две интегральные кривые дифференциального уравнения

Решение. Ясно, что одним из решений дифференциального уравнения , удовлетворяющим начальному условию является функция (соответствующей

интегральной линией является ось абсцисс). Но функция тоже является решением этого уравнения, так как для нее имеем: имеем: и потому это решение удовлетворяет тому же начальному условию .

Таким образом, для выполнения теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения функция должна удовлетворять дополнительным требованиям. Они сформулированы в следующей теореме:

Теорема. Пусть функция f непрерывна в прямоугольнике и имеет в нем непрерывную частную производную по у. Тогда найдутся отрезок и заданная на нем функция такие, что Другой функции с этими свойствами на отрезке не существует.

Иными словами, при выполнении условий теоремы существует отрезок на котором уравнение имеет одно и только одно решение удовлетворяющее начальному условию

Подробное доказательство этой теоремы приведено в книге Виленкина Н. Я., Балка М. Б., Петрова В. А. «Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл» (М., 1980, см. теорему 14.4) на с. 86, где показано, что в качестве I можно выбрать наименьшее из чисел а, где М — наибольшее значение функции в прямоугольнике наибольшее значение в том же прямоугольнике функции наибольшие значения существуют, так как по условию функции а тем самым и функции непрерывны в , а потому ограничены в этом прямоугольнике).

Рис. 17.

В данной книге мы укажем лишь план этого доказа тельства. Сначала дифференциальное уравнение с начальным условием нужно заменить равносильным интегральным уравнением (см. с. 56):

После этого построить последовательность функций полагая и

при . Далее доказать, что на отрезке эта последовательность функций равномерно сходится к решению данного уравнения, причем это решение удовлетворяет начальному условию а других решений при том же начальном условии уравнение не имеет.

Замечание. Условие непрерывности в Q функции можно ослабить. Достаточно потребовать существования такого числа L, что для любых точек из Q с одинаковыми абсциссами выполняется неравенство

Если функция f имеет в Q ограниченную (в частности, непрерывную) частную производную по у, то существует число . В этом случае в силу теоремы Лагранжа имеем:

а потому условие (1) выполняется в Q. Это условие называют условием Липшица. В подавляющем большинстве случаев достаточно, однако, сформулированного в теореме условия непрерывности .

Пример 2. Найдем точки плоскости, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения:

Решение. а) Функция непрерывна и имеет

непрерывную частную производную по у на всей плоскости, за исключением точки Эта точка является особой точкой уравнения а).

б) Функция непрерывна на всей плоскости. Ее частная производная по у равна и разрывна на оси абсцисс. В данном случае точки, где не выполнены условия теоремы существования и единственности, образуют целую линию причем функция тоже является решением данного уравнения. Такое решение, как , называют особым решением данного дифференциального уравнения. (Более подробно такие решения рассмотрим ниже.)

в) Функция тоже непрерывна на всей плоскости, а ее частная производная по у обращается в бесконечность на оси абсцисс. Но в этом случае функция не является решением уравнения в), а потому оно не имеет особых решений.