4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка графически изображается семейством интегральных кривых, зависящим от одного параметра С, — каждому значению этого параметра соответствует определенное частное решение, т. е. определенная интегральная кривая. Рассмотрим теперь обратную задачу:

Дано семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра, т. е. семейство кривых, заданное уравнением вида

Требуется найти дифференциальное уравнение первого порядка, для которого данное семейство было бы общим решением.

С этсй целью продифференцируем по части равенства (1). Учитывая, что У — функция от х, получим соотношение

А теперь осталось исключить параметр С из соотношений (1) и (2). Для этого можно, например, решить уравнение (1) относительно С и подста вить полученное значение С в соотношение (2).

Рис. 6

Уравнение, полученное в результате исключения параметра С из системы уравнений (1) и (2), называют дифференциальным уравнением семейства плоских кривых: .

Пример 1. Найдем дифференциальное уравнение семейства парабол (рис. 6).

Решение. Семейство зависит от одного параметра С. Функция непрерывна и дифференцируема в любой точке плоскости. Составим систему уравнений:

Исключив из нее С, найдем искомое дифференциальное уравнение для которого является решением. В этом легко убедиться, подставив значения в это уравнение. Имеем: верное равенство.

Пример 2. Найдем дифференциальное уравнение семейства кривых

Решение. Функция непрерывна при любом значении и дифференцируема по . Найдем и из системы уравнений

исключим С. Получим дифференциальное уравнение , которому удовлетворяют кривые заданного семейства. Убедитесь в этом.

Линию, пересекающую под прямым углом каждую из кривых данного однопараметрического семейства , называют ортогональной траекторией этого семейства. Отыскание ортогональных траекторий бывает нужно в задачах картографии, навигации и т. д. Ортогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий. Решим следующую задачу: По заданному уравнению семейства кривых написать уравнение семейства ортогональных траекторий этого семейства.

Для решения этой задачи надо сначала написать дифференциальное уравнение семейства. Пусть оно имеет вид: (мы рассматриваем общий случай, когда уравнение не решено относительно производной). Если кривые пересекаются под прямым углом, то их угловые коэффициенты в точке пересечения взаимно обратны по величине и по знаку: . Но угловой коэффициент кривой данного семейства равен у. Отсюда следует, что угловой коэффициент ортогональной к ней кривой в той же точке равен . Из равенства следует, что . Мы показали, что дифференциальное уравнение семейства ортогональных траекторий получается из дифференциального уравнения семейства кривых путем замены у на .

Итак, чтобы найти уравнение семейства ортогональных траекторий для данного однопараметрического семейства плоских кривых, надо:

1) написать дифференциальное уравнение данного семейства кривых;

2) заменить в этом уравнении у на

3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

Пример 3. Найдем уравнение ортогональных траекторий семейства гипербол .

Решение. Дифференцируя по обе части равенства получаем дифференциальное уравнение данного семейства Заменим в этом уравнении у на .

Рис. 7

Получаем уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получаем, что

и потому

Значит, семейством ортогональных траекторий для семейства гипербол является семейство гипербол , получаемое из данного поворотом на у вокруг начала координат (рис. 7).

Аналогично ищут уравнение изогональных траекторий данного семейства, т. е. линий, пересекающих все кривые семейства под одним и тем же углом . Только здесь вместо соотношения уорт придется использовать соотношение

Оно вытекает из того, что (рис. 8) и потому

Рис. 8

Семейство кривых может зависеть и от нескольких параметров. Например, семейство окружностей радиуса 1

зависит от двух параметров а и b, а семейство парабол

от трех параметров k, а, b.

Если семейство кривых зависит от параметров, т. е. задается уравнением вида

то оно является семейством интегральных кривых дифференциального уравнения -го порядка. Чтобы вывести это уравнение, нужно раз продифференцировать уравнение (7) по х (имея в виду, что у — функция от ), после чего исключить из полученной системы уравнений параметров

Пример 4. Напишем дифференциальное уравнение семейства парабол

Решение. Продифференцируем равенство трижды по

Чтобы исключить из последних двух уравнений умножим (9) на а (10) на у" и почленно вычтем получившиеся равенства. После упрощения получаем уравнение третьего порядка: