3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай).

Мы умеем решать любое однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами . Применяя метод вариации произвольных

постоянных (см. п. 9, § 1), можем найти и частное решение любого уравнения вида Однако в наиболее важных для практики случаях, когда правая часть уравнения имеет вид:

(где многочлены), можно найти частное решение уравнения не прибегая к методу вариации произвольных постоянных.

Рассмотрим сначала случай, когда уравнение имеет вид:

где многочлен степени от Имеем:

Если корни характеристического многочлена для L равны то

и уравнение (2) принимает вид:

В этом пункте мы рассмотрим случай, когда число а не является корнем характеристического уравнения для L, т. е. . По теореме в этом случае операторы переводят выражение вида где многочлен степени от в выражение того же вида (т. е. произведение еахна многочлен степени). Но тогда тем же свойством будет обладать и оператор L, равный произведению операторов и числа

Отсюда следует, что если положить где многочлен степени с неопределенными коэффициентами, то будем иметь:

где также является многочленом степени. Чтобы выполнялось равенство коэффициенты многочлена должны равняться коэффициентам при тех же степенях многочлена Это дает систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов

Можно доказать, что она всегда разрешена. Решая ее, находим искомое частное решение уравнения .

Итак, чтобы найти частное решение уравнения

в случае, когда а не является корнем характеристического уравнения, для L нужно искать это решение в виде где многочлен степени от с неопределенными коэффициентами. Подставляя это выражение в уравнение, сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получаем систему уравнений, из которой находим значения коэффициентов многочлена

Если правая часть уравнения является многочленом степени от , то Число 0 не является корнем характеристического уравнения в том и только в том случае, когда свободный член характеристического многочлена отличен от нуля. В этом случае частное решение надо искать в виде где - многочлен -й степени с неопределенными коэффициентами.

Аналогично ищут частное решение уравнений вида

где L — линейный дифференциальный оператор любого порядка с постоянными коэффициентами.

Пример. Найдем частное решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: Число (коэффициент при в показателе) не является его корнем. Поэтому ищем частное решение в виде

Имеем:

Подставляя эти значения в уравнение (4), получаем:

т. е.

Отсюда получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: и потому