4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.

Многие способы приближенного решения дифференциальных уравнений основаны на описанных выше методах доказательства теоремы существования и единственности. Например, указанный в п. 3 метод разложения решения в степенной ряд позволяет найти несколько первых членов ряда Тейлора для искомого решения, что дает хорошее приближение для этого решения вблизи точки

Пример 1. Найдем с точностью до 0,001 приближенное значение в точке 1,2 решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

Решение. Из равенства (5) п. 3 следует, что это значение является суммой ряда, первые члены которого имеют вид: . Так как

последнее слагаемое меньше чем 0,001, то искомое приближенное значение равно:

Метод последовательных приближений тоже дает хороший способ приближенного решения уравнений.

Пример 2. Найдем первые два приближения к решению дифференциального уравнения удовлетворяющему начальному условию .

Решение. Для данного уравнения равенство (2) п. 1 принимает вид:

Перепишем это равенство, разложив по степеням Так как , то имеем:

Далее получаем второе приближение:

Например,

Часто применяют методы приближенного решения дифференциального уравнения основанные на разбиении отрезка на части точками и последовательном отыскании приближенных значений искомого решения в этих точках. Например, после отыскания приближенного значения для заменяют на отрезке уравнение приближенно совпадающим с ним уравнением Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию имеет вид: Подставляя сюда находим: Значение будет приближенным значением решения в точке . В частности, значение дает искомое приближение для значения решения в точке b.

Разумеется, чем мельче отрезки деления, т. е. чем больше точек деления взято, тем точнее полученный результат. Однако увеличение числа точек разбиения влечет за собой увеличение вычислительной работы. Поэтому при решении важных практических задач — расчете траекторий ракет,

работы ядерных реакторов и т. д. — применяют быстродействующие вычислительные машины, способные делать миллионы арифметических операций в секунду.

Если соединить ломаной точки полученные в ходе приближенного решения уравнения , то она даст приближенное изображение интегральной кривой уравнения выходящей из точки . Поэтому описанный метод называют методом ломаных.

Пример 3. Найдем приближенное значение при решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию .

Решение. Разобьем отрезок [0; 0,5] на 5 равных частей точками: положим и будем вычислять формуле

Вычисления оформляем в виде следующей таблицы:

Разделяя переменные в уравнении и интегрируя, находим его общее решение: . Частное решение, удовлетворяющее начальному условию имеет вид: и при принимает значение 1,133. Видим, что приближенное значение решения в точке 0,5 равно 1,103, а точное значение равно 1,133.

Аналогичные численные методы применяются для приближенного решения систем дифференциальных уравнений.