4. Уравнение Клеро.

Найдем дифференциальное уравнение для семейства прямых:

Дифференцируя обе части (1) по получаем, что и потому в силу (1) имеем искомое дифференциальное уравнение

Это уравнение называется уравнением Клеро. Общее решение этого уравнения имеет вид: .

Уравнение (2) имеет еще особое решение. Оно получается следующим образом. Продифференцируем обе части равенства (1) по С: , после чего исключим С из системы уравнений:

Так как прямые не имеют особых точек, получаем особое решение.

Чтобы исключить С, надо решить уравнение относительно С и подставить полученное значение в первое уравнение системы (3). Но можно считать, что (3) является параметрическим уравнением огибающей (с параметром С). Таким образом, (3) — параметрическое задание особого решения уравнения Клеро.

Пример 1. Найдем все решения уравнения Клеро:

Решение. Это уравнение Клеро, в котором

. Его общее решение получим, заменив в нем у на С:

Найдем теперь особое решение, которым является огибающая полученного семейства прямых:

Исключив С, получим: (рис. 22).

Рис. 22

Следовательно, особое решение представляет параболу, в то время как ее общее решение (4) есть семейство прямых. Парабола, являясь огибающей, в каждой своей точке касается одной из прямых, входящих в семейство (4).

Пример 2. Найдем кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник постоянной площади, равной

Решение. Пусть касательная отсекает на осях координат отрезки длиной . Напишем уравнение касательной в отрезках: Но по условию откуда . Мы получили однопараметрическое семейство непараллельных прямых: . Найдем дифференциальное уравнение этого семейства. Для этого продифференцируем его по и исключим а из системы уравнений:

Из второго уравнения имеем:

Подставив значение а в первое уравнение, получим:

или Это уравнение Клеро; его общее решение Нас интересует особое решение, которое дает искомую кривую. Найдем его:

Из первого уравнения имеем: Подставив значения С и во второе уравнение, или Это равносторонняя гипербола.