5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание).

Формулы Эйлера

позволяют свести к рассмотренным выше случаям дифференциальное уравнение вида

где — многочлены. По этим формулам уравнение (1) записывается так:

Преобразуя правую часть этого уравнения, получаем:

где для краткости положено

Если наибольшая из степеней многочленов равна , то оба многочлена имеют степень .

В силу сказанного в п. 3 частное решение уравнения (Г) следует искать в виде

где — многочлены степени с неопределенными коэффициентами, кратность корня для характеристического многочлена (если не является корнем этого многочлена, то s = 0).

Вновь применяя формулы Эйлера:

записываем (2) в виде

где для краткости положено

Мы доказали, таким образом, следующее утверждение: Частное решение уравнения

где многочлены от большая из степеней которых равна , следует искать в виде

Здесь многочлены степени с неопределенными коэффициентами, кратность корня а характеристического многочлена для L (при этом если а не является корнем характеристического многочлена).

Пример 1. Найдем общее решение уравнения

Решение. В этом уравнении так как есть многочлен первой степени. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет корнями числа Как видим, число а является корнем характеристического уравнения. С учетом всего сказанного частное решение заданного неоднородного уравнения надо искать по формуле (3) в виде

или

Далее поступаем обычным способом:

Подставляем в левую часть заданного уравнения и приводим подобные члены. Получим:

Последнее равенство может выполняться тождественно только при выполнении следующих тождеств:

откуда

Из этой системы уравнений находим: Частное решение имеет вид:

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

Общее решение заданного уравнения имеет вид:

Пример 2. Найдем общее решение уравнения

Решение. Напишем характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения Его корнями являются числа . В правой части имеем выражение, в котором многочлен нулевой степени, Как видно, комплексные числа а совпадают соответственно с корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение надо искать в виде

Выполнив вычисления, получим для такое выражение

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

Сложив , получим общее решение заданного неоднородного уравнения

Пример 3. Найдем общее решение уравнения

Решение. Правую часть уравнения можно рассматривать как сумму функций Рассмотрим два вспомогательных уравнения:

Так как , то частное решение уравнения (4) ищем в виде многочлена второй степени: Выполнив вычисления, найдем: Частное решение уравнения (4) было найдено в примере . Поэтому функция

является частным решением уравнения (4). Общее решение соответствующего однородного уравнения: Поэтому общим решением уравнения (4) является

Пример 4. Найдем решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию:

Решение. Найдем сначала общее решение уравнения. В данном случае оно уже известно (см. (6)):

Поэтому . В силу начальных условий откуда Искомым частным решением заданного уравнения является функция

Сводка правил отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка о постоянными коэффициентами в зависимости от вида правой части уравнения

(см. скан)