2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у' = f(x, у).

Если в точке хотя бы одна из функций имеет разрыв, то возможны следующие случаи:

а) В точке функция бесконечно велика,

В этом случае поле направлений в точке параллельно оси ординат, и потому касательная в точке к интегральной кривой, проходящей через эту точку, вертикальна.

Пример 1. Для уравнения поле направлено вертикально в точках прямой

б) Функция непрерывна в некоторой проколотой окрестности точки но не имеет предела при (т. е. при ).

В этом случае в сколь угодно малой окрестности точки поле может иметь весьма отличающиеся друг от друга направления. В п. 3 § 1 такие точки были названы особыми для поля направлений. Через особые точки либо не проходит ни одна интегральная кривая данного уравнения, либо проходит бесконечно много таких кривых.

в) Функция непрерывна в некоторой окрестности точки но частная производная — этой функции обращается в бесконечность на некоторой линии Г, проходящей через точку

В этом случае в каждой точке линии Г не выполняются условия теоремы существования и единственности решения уравнения

Определение. Решение дифференциального уравнения называется особым, если через каждую точку соответствующей интегральной кривой проходит, по крайней мере, еще одна интегральная кривая того же. уравнения. График этого решения называется особой интегральной кривой.

Пример 1. Функция является особым решением уравнения . В самом деле, она является решением этого уравнения, а через точку этой линии проходит еще график решения того же уравнения.

Пример 2. Хотя на оси абсцисс частная производная функции обращается в бесконечность, функция не является особым решением уравнения так как она не удовлетворяет этому уравнению.

Остановимся теперь на случае, когда дифференциальное уравнение не разрешено относительно производной, т. е. имеет вид:

При заданных это уравнение может удовлетворяться несколькими значениями у, и потому через точку может проходить несколько интегральных кривых в разных направлениях. Это не противоречит теореме существования и единственности, поскольку она касается лишь уравнений, разрешенных относительно производных. Если причем в точке то в окрестности точки N уравнение (1) можно решить относительно у: При этом по правилу дифференцирования неявной функции имеем:

Отсюда вытекает, что условия теоремы существования и единственности нарушаются лишь в точках, где Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Если — особое решение дифференциального уравнения , то оно удовлетворяет, кроме того, и уравнению .

Из этой теоремы вытекает, что особые решения дифференциального уравнения можно искать следующим образом:

а) исключаем у из системы уравнений:

б) проверяем, какие части получившейся кривой являются интегральными кривыми для данного уравнения.

Замечание. При исключении из системы уравнений (2), кроме интегральных кривых, получаются линии, состоящие из особых точек интегральных кривых уравнения (1), т. е. из точек, в которых нельзя провести единственную касательную к этим кривым.

Пример 3. Найдем особое решение уравнения

Решение. Здесь и система (2) принимает вид:

Подставив значение в первое уравнение, получим: . Значит, . Проверка показывает, что функции решения данного уравнения, т. е. его особые решения.

Пример 4. Найдем особое решение дифференциального уравнения

Решение. В данном случае система (2) принимает вид:

Из второго уравнения находим, что или . В первом случае из первого уравнения системы (4) находим, что , а во втором, что лишь дает решение уравнения (3). Линия же оказывается множеством точек заострения интегральных кривых (рис. 20), но не является интегральной кривой данного уравнения.