§ 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка находят применение при изучении различных колебательных явлений. Рассмотрим некоторые из них.

1. Колебания под действием упругой силы пружины.

Задача 1. На вертикальной пружине закреплен груз массой . Груз выведен из положения равновесия в вертикальном направлении и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение. Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза, которую примем за начало координат. Составим дифференциальное уравнение движения, опираясь на второй закон Ньютона:

где — масса груза, а — ускорение движения, F — результирующая всех сил, приложенных к грузу.

В положении равновесия сила тяжести, проекция которой на ось равна уравнивается упругой силой пружины, которая согласно закону Гука пропорциональна удлинению пружины:

(здесь - коэффициент жесткости пружины). Обозначим через отклонение груза от положения равновесия. Тогда в момент времени t на тело будут действовать две силы: сила тяжести тянущая груз вниз, и упругая сила пружины, равная и направленная вверх. Результирующая сила будет равна:

или в силу (2)

На основании закона Ньютона (1) получаем:

В случае прямолинейного движения вдоль оси ускорение равно . Поэтому равенство (3) можно записать в виде откуда

где

Это дифференциальное уравнение движения тела. Оно является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Корнями его характеристического уравнения являются числа Поэтому общее решение уравнения (4) имеет вид:

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем его:

Положим . Так как то можно положить

Тогда общее решение запишется так:

или

где А и a — новые произвольные постоянные. Величина А называется амплитудой колебания, аргумент а — фазой колебания, его значение а при называется начальной фазой, (о — частотой колебания.

Пусть в начальный момент отклонение груза от положения равновесия равно а скорость движения По этим начальным условиям можно найти амплитуду колебания и начальную фазу.

В силу условий при учитывая равенство , получаем: , откуда

Подставив найденные значения в (5), получим:

Формула (5) выражает закон движения груза. Из нее видно, что груз совершает гармонические колебания около положения равновесия (отсюда и название уравнения). Частота и период колебания соответственно равны: со Как видим, частота и период колебания зависят только от жесткости пружины и массы груза. Другими словами, частота и период колебания определяются свойствами самой системы. Амплитуда же колебаний и начальная фаза а зависят также от начальных условий

Задача 2. Найдем закон движения груза в условиях Предыдущей задачи с учетом сопротивления среды, считая его пропорциональным скорости движения.

Решение. Теперь к силам, действующим на груз, прибавится сила сопротивления среды, которая равна (знак «минус» указывает на то, что сила сопротивления среды направлена противоположно скорости). Уравнение движения примет вид:

или

где — коэффициент, сопротивления. Снова получили линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Корнями его характеристического уравнения являются числа

Возможны три случая:

В этом случае

Здесь частота колебания, а — начальная фаза. Множитель монотонно стремится к нулю при Если задать начальные условия: то можно определить .

2) - коэффициент сопротивления среды больше жесткости пружины. Тогда корни вещественные отрицательные числа и где

С течением времени стремится к нулю.

Используя правило Лопиталя, найдем:

т. е. и в этом случае

При большом сопротивлении среды (случаи 2) и получаем функции, имеющие не более одного экстремума. Поэтому при большом сопротивлении среды движение не имеет колебательного характера, а начиная с некоторого момента времени отклонение точки от положения равновесия монотонно стремится к нулю.

Видим что при малом сопротивлении среды (случай ) уменьшается частота колебаний, поскольку и амплитуда этих колебаний с течением времени стремится к нулю. Такие колебания называют затухающими гармоническими колебаниями.

В обеих рассмотренных задачах мы не имеем внешней (возмущающей) силы. Колебания груза были вызваны действием упругой силы пружины. Такие колебания называют свободными или собственными. Если на груз будет действовать внешняя (возмущающая) сила, то возникают так называемые вынужденные колебания.

Задача 3. Найдем закон движения груза в условиях первой задачи, но с учетом того, что на груз действует возмущающая сила (вынужденные колебания без сопротивления среды).

Решение. Теперь (см. задачу 1) к силам, действующим на груз, прибавится внешняя сила Как и в задаче 1, получаем уравнение:

откуда

где

Решив уравнение (6), найдем закон движения груза.

Уравнение (6) является линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, соответствующее однородное уравнение которого совпадает с уравнением (4). Поэтому для получения общего решения неоднородного уравнения (6) остается найти только его частное решение. Вид этого решения зависит от вида правой части уравнения (6). В практике важен случай, когда возмущающая сила является синусоидальной.

Задача 4. Найдем закон движения груза в условиях задачи 3, считая внешнюю (возмущающую) силу равной где — постоянные.

Решение. Воспользуемся результатом решения задачи 3. Уравнение (6) теперь примет вид:

где

Соответствующим однородным уравнением является уравнение Его общее решение имеет вид: (см. п. 1, § 3).

Найдем частное решение неоднородного уравнения (6). Рассмотрим два случая:

1) (частота внешней силы не совпадает с частотой собственных колебаний). Частное решение надо искать в виде

где М и N — коэффициенты, подлежащие определению. (См. сводку правил отыскания в § 2.) Выполнив вычисления, найдем: и, следовательно, Закон движения груза выражается общим решением уравнения (6):

Второе слагаемое в (7) определяет вынужденные колебания, вызванные внешней силой. Первое же слагаемое определяет собственные колебания, обусловленные жесткостью пружины и массой груза.

При сложении двух гармонических колебаний, имеющих различные частоты, возникают так называемые биения — амплитуда результирующего колебания периодически то увеличивается, то уменьшается. Это явление используют в радиотехнике.

2) . Уравнение (7) примет вид:

Теперь частное решение надо искать в виде

В результате соответствующих вычислений получим: Поэтому частное решение, определяющее колебания, имеет вид:

Из (8) следует, что амплитуда вынужденных колебаний может оказаться очень большой, даже когда невелико. Это явление резкого возрастания амплитуды колебаний под влиянием даже совсем малых возмущающих (внешних) сил называют резонансом.

Задача 5. Найдём закон движения груза при наличии возмущающей синусоидальной силы и сопротивления среды, которое пропорционально скорости движения (вынужденные колебания в среде с сопротивлением).

Решение. Пусть возмущающая сила равна По условию сопротивление среды равно и направлено противоположно скорости. Задача является обобщением задач 2 и 4. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

или

где

В практике чаще встречается случай, когда сопротивление среды мало, т. е.

Общее решение соответствующего однородного уравнения было найдено в задаче 2 (случай 1):

где

Частное решение неоднородного уравнения (9) ищем в виде

Вычисления показывают, что где

Общее решение:

Первое слагаемое в (10) (см. задачу 4) определяет затухающие гармонические колебания. Амплитуда вынужденных колебаний В (см. задачу 4) не зависит от времени t. Она имеет наибольшее значение при . При этом значении Р амплитуда колебаний становится равной и потому велика при малых значениях

При этом частота вынужденных колебаний Р близка к частоте собственных колебаний со. Следовательно, когда сопротивление среды мало и частота вынужденных колебаний близка к частоте собственных колебаний, амплитуда вынужденных колебаний становится очень большой, т. е. возникает резонанс.

Явление резонанса встречается в колебаниях различных систем. При этом в одних случаях оно вредно (например, в качке мостов, перекрытий), в других — полезно (например, им пользуются в электротехнике).