9. Метод вариации произвольных постоянных.

Теорема 1 п. 8 сводит отыскание общего решения неоднородного линейного уравнения к отысканию общего решения Y соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения уравнения Мы покажем сейчас, что, зная общее решение уравнения можно с помощью квадратур (вычисления интегралов) найти частное решение уравнения . Ради простоты проведем рассуждения при Будем искать это частное решение в следующем виде:

Иными словами, заменим произвольные постоянные новыми искомыми функциями . Эти функции следует подобрать так, чтобы функция была решением уравнения . Поскольку общее число искомых функций равно двум, мы можем сами наложить на них еще одно условие. Из (1) следует, что

Условие, которое мы налагаем на функции заключается в том, что

Тогда и потому

Подставим выражения для в левую часть уравнения , где . Так как то Но по условию решения однородного уравнения и потому Значит,

Поэтому уравнение принимает вид:

Мы получили, таким образом, для отыскания функций систему из двух линейных уравнений:

Определитель этой системы уравнений равен и в силу линейной независимости функций отличен от нуля. Поэтому систему уравнений (5) можно решить относительно функций

А теперь достаточно вычислить интегралы от чтобы получить значения , а затем найти функцию

Для уравнения порядка

система (5) принимает вид:

Пример. Найдем методом вариации постоянных общее решение уравнения

Решение. Имеем линейное неоднородное уравнение 2-го порядка, в котором . Все эти функции непрерывны. Соответствующим однородным уравнением является уравнение

Легко убедиться, что функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (7). Поэтому его общим решением будет где произвольные постоянные.

Будем искать частное решение уравнения (6) в виде

Для отыскания запишем систему уравнений см. (5)):

откуда

Проинтегрировав, найдем: . Значит,

Так как то общее решение уравнения (6) имеет вид:

Замечание. Ответ (9) можно получить, записывая результат интегрирования с произвольными постоянными:

Тогда сразу получаем ответ в виде

В виду произвольности этот ответ можно переписать в виде