4. Уравнения в полных дифференциалах.

Полученное в п. 1 решение дифференциальных уравнений вида можно описать следующим образом: переписываем это уравнение в виде (где Р — первообразная для , a Q - для q) и замечаем, что дифференциал функции равен нулю в том и только в том случае, когда эта функция постоянна. Такой метод решения пригоден для гораздо более широкого класса дифференциальных уравнений, а именно для так называемых уравнений в полных дифференциалах.

Определение. Дифференциальное уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных , что

Равенство (2) означает, что .

Если (1) является уравнением в полных дифференциалах, то его можно переписать следующим образом: . Этому уравнению удовлетворяют те и только те функции которые удовлетворяют одному из соотношений , где С — произвольная постоянная. Итак, если существует такая функция что то общий интеграл дифференциального уравнения (1) имеет вид:

Из курса математического анализа известно необходимое и достаточное условие, которому должно удовлетворять выражение

для того чтобы оно было полным дифференциалом некоторой функции, заданной в односвязной области Q. Если в этой области частные производные — и непрерывны, то является полным дифференциалом в том и только в том случае, когда выполняется равенство

Рис. 1

В этом случае функция полным дифференциалом которой является выражается следующим образом:

Здесь Г — любая кривая в области Q, соединяющая фиксированную точку этой области, в которой , с точкой . В частности, если Г имеет вид ломаной, изображенной на рисунке 1, то формула (5) принимает вид:

При мер. Решим уравнение

Решение. Здесь . Выясним, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах. Найдем: условие выполняется, причем частные производные непрерывны.

Применим формулу (6), положив Вычислим интегралы

Получим общий интеграл уравнения

Замечание. Функция оказалась равной Очевидно,