8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

Пусть L — линейный дифференциальный оператор порядка:

Тогда неоднородное линейное уравнение порядка. Уравнение называют соответствующим ему однородным уравнением. Имеет место следующее утверждение:

Теорема 1. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения Y соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения данного уравнения.

Доказательство. Сначала покажем, что является решением уравнения . В самом деле, так как — общее решение уравнения то при любых значениях произвольных постоянных имеем: . Далее, — решение уравнения и потому . Из теоремы 3 п. 4 получаем, что — решение уравнения Осталось показать, что является общим решением этого уравнения, т. е. что путем подбора произвольных постоянных можно удовлетворить любым начальным условиям Коши: Но из следует, что и потому равенство означает, что т. е. что Поэтому достаточно подобрать произвольные постоянные так, чтобы выполнялись условия: Но это можно сделать, поскольку У является общим решением для уравнения .

Пример 1. Найдем общее решение линейного неоднородного уравнения .

Решение. Соответствующим однородным уравнением является уравнение Функции образуют базис в пространстве решений этого уравнения. Действительно, во-первых, это решения однородного. уравнения Во-вторых, они линейно независимы, ибо их вронскиан

Далее, функция является частным решением

заданного неоднородного уравнения, ибо Общим решением заданного неоднородного уравнения согласно теореме 1 является функция .

Пример 2. Найдем частное решение линейного неоднородного уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Общее решение данного уравнения (найдено в примере Теперь, используя начальные условия, найдем значения Так как то в силу начальных условий получим систему линейных уравнений:

откуда Поэтому искомым частным решением является функция .