3. Однородные уравнения.

Рассмотрим еще один класс уравнений, которые путем подстановки сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Введем следующее определение:

Определение. Функция называется однородной функцией нулевой степени, если для любого выполняется равенство

Иными словами, однородная функция нулевой степени не изменяется при умножении х и у на одно и то же отличное от нуля число.

Пр и Функции

являются однородными нулевой степени, так как при замене х и у на , где , получаем соответственно:

Лемма. Если f (x, у) - однородная функция нулевой степени, то , где .

Доказательство. Полагая в равенстве получаем при :

Лемма доказана.

Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения . правая часть которых является однородной функцией нулевой степени. Такие уравнения называют однородными. Например, уравнение

однородно, а уравнение

не является таковым.

В силу леммы однородное уравнение можно представить в виде , где . Решение же уравнения

сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными. Для этого введем новую искомую функцию, положив Тогда и потому . Получаем уравнение и т. е.

Полученное уравнение с разделяющимися переменными имеет решения: и где корни уравнения . Так как , то соответствующие решения данного уравнения имеют вид: Их графики являются

проходящими через начало координат прямыми, из которых выброшена сама точка .

В области же, где , можно разделить переменные:

Интегрируя, получим:

т. е.

где — одна из первообразных функции . Соответствующее общее решение уравнения (2) имеет вид:

Замечание. Заменив в решении на на получим:

т. е.

Таким образом, замена в решении однородного уравнения на на приводит к замене этого решения иным решением того же уравнения (соответствующим замене постоянной С на постоянную Преобразование является гомотетией плоскости с центром в начале координат. При этой гомотетии интегральные кривые однородных дифференциальных уравнений переходят одна в другую. Это можно было доказать, не решая данного уравнения. Отыскание преобразований переменных, переводящих одно решение данного дифференциального уравнения в другое решение того же уравнения, служит мощным орудием в отыскании таких решений.

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Разрешая это уравнение относительно получим: Это уравнение однородно, так как его правая часть — однородная функция нулевой степени.

Сделаем подстановку: Тогда и

и. Подставив эти значения в заданное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными: При и имеем: и общий интеграл имеет вид: Если то получим решение этого уравнения

После замены и на получим для заданного уравнения х общее решение и еще решение .