Вопросы для самопроверки

1. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными?

2. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями с разделяющимися переменными?

3. Какой вид имеет общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными вида если ?

4. В каком случае дифференциальное уравнение вида имеет решения, не содержащиеся в общем интеграле? Как найти эти решения?

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? Приведите два примера.

6. Какое линейное уравнение называется однородным?

7. К какому классу уравнений относятся однородные линейные уравнения?

8. С помощью какой подстановки решается неоднородное линейное уравнение?

9. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением Бернулли? Как его решают?

10. Какая функция называется однородной функцией нулевой степени? Приведите примеры однородных функций нулевой степени.

11. Можно ли однородную функцию нулевой степени считать функцией отношения аргументов? Почему?

12. Какое дифференциальное уравнение называется однородным?

13. Какая подстановка используется для интегрирования однородного дифференциального уравнения?

14. Какую особенность имеет расположение интегральных кривых однородного дифференциального уравнения?

15. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением в полных дифференциалах?

16. Сформулируйте условие» при выполнении которого левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции.

17. Какой вид имеет общий интеграл дифференциального уравнения в полных дифференциалах?

Упражнения

Установите, какие из нижеприведенных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными:

Решите следующие дифференциальные уравнения:

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

Решите дифференциальные уравнения и выделите интегральные кривые, проходящие через указанные точки:

Решите дифференциальные уравнения, используя подходящую подстановку:

Какие из нижеприведенных уравнений являются линейными:

Найдите общее решение следующих уравнений:

Найдите методом вариации общее решение следующих уравнений:

Найдите частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям (задача Коши):

Найдите решения уравнений, ограниченные при

61. Найдите решение обладающее свойством при следующего уравнения:

Докажите, что для линейного уравнения с постоянным положительным коэффициентом к и непрерывной положительной функцией такой, что все решения обладают свойством

Найдите общее решение уравнения Бернулли:

Решите заданные дифференциальные уравнения:

71. . Найдите интегральную кривую, проходящую через точку

Какие из нижеприведенных уравнений являются уравнениями в полных дифференциалах:

Решите следующие дифференциальные уравнения:

79. . Выделите интегральную кривую, проходящую через точку

Определите тип, к которому принадлежит соответствующее уравнение, и проинтегрируйте его:

100. Найдите кривую, проходящую через точку

108. . Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию .