2. Линейные уравнения первого порядка.

Важным классом уравнений, сводящихся путем подстановки к уравнениям с разделяющимися переменными, являются так называемые линейные уравнения.

Определение. Линейным уравнением первого порядка называют дифференциальное уравнение первого порядка, которое линейно относительно функции и ее производной, т. е. уравнение вида

Здесь непрерывные функции от . В области, где , это уравнение равносильно уравнению вида

в котором для краткости положено

Если же то одним из интегралов уравнения (1), записанного в дифференциальной форме, является . В самом деле, из получаем: при подстановке вместо и нуля вместо получаем верное равенство

Пример 1. Для уравнения

являются решениями. Способ отыскания иных решений для линейных уравнений будет изложен ниже.

Проще всего решается линейное дифференциальное

уравнение в случае, когда его правая часть равна нулю, т. е. уравнение вида

Такое уравнение (3) называют однородным линейным уравнением первого порядка. Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Записывая уравнение (3) в виде и замечая, что получаем уравнение

Из него следует, что

где Р — первообразная для функции . Поэтому

является общим решением уравнения (3).

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Разделяя переменные, получаем

Значит,

т. е.

является общим решением уравнения (5).

Уравнение (2) в общем случае, т. е. при называют неоднородным линейным уравнением первого порядка. Его решение сводится к решению соответствующего ему однородного дифференциального уравнения, т. е. уравнения .

В самом деле, пусть — решение уравнения

т. е. пусть имеет место тождество Сделаем в уравнении (2) замену переменной . Получим:

т. е.

или

Поскольку , то функция v должна удовлетворять уравнению

Отсюда находим, что

где V — первообразная для функции Но тогда общее решение уравнения (2) имеет вид:

Иными словами, справедлива следующая теорема: Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения

имеет вид:

где — какое-нибудь частное решение соответствующего однородного уравнения первообразная функция для

Выше мы видели, что одним из решений уравнения (3) является где одна из первообразных для функции Поэтому

и, следовательно,

Мы не рекомендуем, однако, ни решать линейное дифференциальное уравнение (7) по формуле (9), ни даже запоминать равенство (8). Вместо этого лучше использовать следующую схему решения:

а) Найти какое-нибудь ненулевое частное решение соответствующего однородного линейного уравнения, т. е. уравнения

б) Сделать в заданном уравнении подстановку

в) Из получившегося уравнения найти значение после чего интегрированием найти общее выражение для

г) Записать ответ в виде

Пример 3. Найдем общее решение уравнения

Решение. Сначала решаем соответствующее однородное линейное уравнение, т. е. уравнение

Разделяя переменные, находим, что откуда , и потому простоты положено ведь нам нужно хотя бы одно решение уравнения ).

Подстановка приводит уравнение (10) к виду

т. е. после упрощения к виду (напомним, что Отсюда находим, что и потому

Значит, общее решение уравнения (10) имеет вид

Метод, использованный нами для решения линейных уравнений, годится и для решения уравнений более общего вида:

Их называют уравнениями Бернулли. Здесь надо сначала

найти какое-нибудь ненулевое решение однородного линейного уравнения

а потом сделать в (12) подстановку сводящую его к уравнению относительно с разделяющимися переменными:

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Это уравнение Бернулли. Сначала решим уравнение

Разделяя переменные, находим, что

откуда получаем: .

Теперь в уравнении (13) делаем подстановку:

Имеем:

и потому (13) примет вид:

Отсюда следует, что

Вновь разделяя переменные, получаем:

и потому

Так как

то

откуда

Значит, общее решение уравнения (13) имеет вид: