2. Поле направлений и дифференциальные уравнения.

В физике рассматривают линии индукции данного магнитного поля, т. е. линии, направление которых в каждой точке совпадает с направлением этого поля (рис. 15). В математике вместо «линии индукции магнитного поля» говорят «интегральные кривые».

Определение. Линия у называется интегральной кривой данного поля направлений, если направление касательной к ней в любой ее точке М совпадает с направлением поля в точке

Для примера 2 (п. 1) интегральными кривыми являются лучи, выходящие из начала координат, — вдоль каждого такого луча его направление совпадает с направлением поля. А для примера 3 (п. 1) интегральными кривыми являются окружности с центром в начале координат — в этом примере в каждой точке поле направлено перпендикулярно лучу, соединяющему начало координат с этой точкой, а известно, что касательная к окружности в каждой точке перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Для примера 4 (п. 1) мы не можем дать описания интегральных кривых. Тем не менее можно приближенно изобразить, например, интегральную кривую, проходящую через начало координат (см. рис. 14).

Пусть уравнение интегральной кривой Г поля направлений, заданного равенством и пусть точка, лежащая на этой кривой. Мы знаем, что угловой коэффициент касательной к кривой Г в точке М равен Так как он совпадает с угловым коэффициентом направлений поля в точке то должно выполняться равенство Это равенство показывает, что функция является решение дифференциального уравнения .

Обратно, если функция является решением дифференциального уравнения , то график этой функции является интегральной кривой для поля направлений, заданного равенством .

Мы установили, таким образом, геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка вида Такому уравнению ставится в соответствие поле направлений, заданное равенством а решениями дифференциального уравнения являются функции, графики которых служат интегральными кривыми этого поля направлений.

Пример 1. Мы видели выше, что интегральными кривыми поля направлений являются прямые, проходящие через начало координат. К такому же выводу приходим, решая дифференциальное уравнение После разделения переменных получаем: откуда находим, что и потому

Пример 2. Мы видели выше, что интегральными

кривыми поля направлений являются окружности с центром в начале координат. К такому же выводу приходим, решая уравнение . После разделения переменных получаем: откуда находим, что и потому

Используя геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка, можно, не решая уравнения, найти точки экстремума и точки перегиба для интегральных кривых этого уравнения.

Пример 3. Найдем множество точек, в которых интегральные кривые дифференциального уравнения у могут иметь экстремумы.

Решение. В точке экстремума производная функции (если она существует) равна нулю. Поэтому искомое множество точек задается уравнением т. е. является параболой.

Пример 4. Найдем множество точек, в которых интегральные кривые дифференциального уравнения могут иметь перегиб.

Решение. В точке перегиба вторая производная (если она существует) обращается в нуль. Дифференцируя по обе части равенства и принимая во внимание, что у — функция от х, получаем,что Но и потому . Значит, искомое множество точек задается уравнением .

Переходя к полярным координатам и учитывая, что находим уравнение искомого множества в виде

Замечание. Понятие интегральной кривой является более общим, чем понятие графика решения дифференциального уравнения. В точках, где направление поля параллельно оси ординат, угловой коэффициент поля обращается в бесконечность, и потому в этих точках уравнение выполняется лишь в обобщенном смысле слова (обе части уравнения обращаются в бесконечность). Поэтому интегральная кривая может состоять из нескольких графиков, соединяющихся в точках, где поле имеет вертикальное направление. Например, окружности интегральные кривые поля состоят из графиков двух функций:

Рис. 16

Аналогичный геометрический смысл имеет система дифференциальных уравнений первого порядка. Пусть она задана в векторной форме:

где . Тогда любому набору значений переменных соответствует вектор в -мерном пространстве, имеющий координаты Тем самым задается поле направлений в -мерном пространстве. Линии, касающиеся в каждой точке этого поля направлений, называются интегральными кривыми данного поля. Решение системы уравнений (1) и заключается в отыскании этих интегральных кривых.

3. Особые точки. Точки, в которых поле не имеет определенного направления, называются особыми точками этого поля. Например, для полей особой точкой является начало координат: при ни дробь , ни дробь не имеют определенного значения. Видим, что вблизи особой точки поле имеет самые разнообразные направления. Поле, изображенное на рисунке 12, встречается в физике при изучении поля скоростей жидкости, истекающей из начала координат. Поле, изображенное на рисунке 13, встречается в физике при изучении поля скоростей жидкости, вращающейся вокруг начала координат (вихря), а также при изучении магнитного поля вокруг прямолинейного электрического тока. На рисунке 16 изображены силовые линии магнитного поля (N и S — полюсы магнита). Точки N и S — особые точки этого поля.

Особые точки поля направлений называют и особыми точками дифференциального уравнения

Пример. Найдём особые точки уравнения

Решение. Функция не имеет определенного значения, если Решая систему уравнений:

получаем особые точки