Вопросы для самопроверки

1. Какое решение дифференциального уравнения называется общим? В чем геометрический смысл?

2. Какое решение дифференциального уравнения называется частным решением? В чем его геометрический смысл?

3. Какое множество плоских кривых называется семейством, зависящим от одного параметра?

4. Какая кривая называется огибающей семейства плоских кривых?

5. Какое решение уравнения называется особым?

6. Какая кривая называется особой интегральной кривой?

7. Из какой системы уравнений может быть найдено особое решение уравнения

8. Почему огибающая семейства частных решений является особым решением уравнения?

9. Какое уравнение называется уравнением Клеро?

10. Семейство каких линий представляет общее решение уравнения Клеро?

11. Что геометрически представляет особое решение уравнения Клеро? Как найти его?

Упражнения

По общим решениям дифференциальных уравнений найдите их частные решения, удовлетворяющие начальным условиям (изобразите на чертеже найденные решения):

49. Пусть частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию Найдите при производные первого и второго порядка этого частного решения.

50. Пусть частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальному условию Найдите при производные третьего и четвертого порядка этого частного решения.

51. Убедитесь, что функция является общим решением уравнения и найдите частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Можно ли задать начальное условие

Найдите общее решение дифференциальных уравнений и выделите интегральные кривые, проходящие через указанные точки:

Укажите области, в которых выполняются условия теоремы Коши:

Покажите, что нижеприведенные функции являются общими решениями соответствующих дифференциальных уравнений:

67. Даны дифференциальное уравнение и его решение где - произвольные постоянные.

а) Проверьте, что это решение является общим.

б) Найдите частное решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:

Найдите огибающую семейства линий:

Найдите решения дифференциальных уравнений, если известны их общие интегралы:

Найдите общие и особые решения дифференциальных уравнений:

Являются ли уравнениями Клеро следующие уравнения

Проинтегрируйте уравнения:

93. Найдите кривую, каждая касательная к которой отсекает на осях координат отрезки, сумма длин которых равна 2а.

94. Найдите кривые, для которых сумма координат точек пересечения касательной с осями координат в два раза больше суммы координат точек касания.