2. Вывод уравнения колебаний струны.

Так называемая идеальная струна является результатом абстракции. Мы отвлекаемся от двух измерений струны (ширины и высоты), которые считаем бесконечно малыми по сравнению с третьим измерением (длиной), а струну — абсолютно гибкой. Иными словами, предполагается, что струна не оказывает никакого сопротивления изменению ее формы (изгибу), а работает только на растяжение. Пусть струна имеет длину и в прямолинейном положении занимает отрезок оси . Будем считать, что к концам струны приложены вдоль оси силы натяжения равные по величине, но противоположные по направлению, и что концы струны закреплены.

Сделаем еще два упрощающих предположения относительно рассматриваемых колебаний. Именно будем считать, что все точки струны движутся перпендикулярно оси в одной плоскости и что эти колебания малы: наконец, предположим, что струна однородна.

Рис. 23

Условие малости колебания означает точнее следующее. Так как струна колеблется в одной плоскости, то закон ее колебаний задается одной функцией от двух переменных и где — отклонение точки с абсциссой в момент времени (рис. 23). По формуле длины дуги мы получаем, что длина дуги в момент времени t равна:

Пусть отклонение и мало. Если струна достаточно гладкая, то и производная (тангенс угла наклона струны в точке в момент времени t) тоже мала. Квадрат этой производной — малая высшего порядка. Мы предположим, что отклонения струны настолько малы, что можно пренебречь этим квадратом. При этом получим, что длина струны равна Таким образом, при малых колебаниях струны ее длину можно считать неизменной. Не меняет своей длины и любой отрезок струны.

Из сделанных предположений о характере колебаний вытекают еще следующие выводы: поскольку длина отрезков струны не меняется, то натяжение во всех ее точках одно и то же и равно Т. Далее заметим, что где a — угол наклона касательной к струне в точке в момент времени t. Поэтому

Так как мы предположили, что величиной можно пренебречь, то во всех точках струны с точностью до малых второго порядка Но тогда во всех точках струны имеем (с точностью до малых высшего порядка):

Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны — уравнения, которому удовлетворяет функция и . Для этого рассмотрим отрезок струны, лежащий между точками Обозначим линейную плотность струны через . (Мы предполагаем, что струна однородна и потому ее плотность постоянна.) Тогда масса этого отрезка струны равна На отрезок струны действуют силы натяжения, приложенные в его концах. Эти силы по величине равны натяжению Т на концах.

Горизонтальная составляющая равнодействующей этих сил равна нулю. В самом деле, если угол наклона касательной в точке равен а угол наклона касательной в точке равен то горизонтальная составляющая равна:

Но мы предположили, что во всех точках струны можно (с точностью до малых второго порядка) считать . Поэтому

Вертикальная составляющая равнодействующей дается формулой

Имеем:

Поэтому

По теореме Лагранжа

где с — точка, лежащая между Но по второму закону Ньютона сила равна массе, умноженной на ускорение: а.

Ускорение струны в точке с абсциссой есть вторая производная отклонения по времени: . Подставляя это значение вместо а, значение вместо m и значение вместо силы F, получим:

Сократим это равенство на и устремим к нулю. При этом точка с будет приближаться к и мы получим:

Разделим обе части этого уравнения на и обозначим — через надо путать это а с введенным ранее Р обозначением ускорения). Тогда уравнение (2) примет вид:

Уравнение (3) и называется уравнением свободных колебаний струны.

Если на струну действует сила, вызывающая колебания этой струны, и если в момент времени t линейная плотность силы в точке равна т. е. если на отрезок от до действует сила то уравнение (3) надо заменить уравнением

Это уравнение называется уравнением вынужденных колебаний струны.

Аналогично выводится уравнение теплопроводности для стержня. Оно имеет вид:

где Здесь k — коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоемкость материала, из которого сделан стержень, и — линейная плотность стержня.

Для потенциала дифференциальное уравнение имеет вид:

где — плотность заряда в точке , — диэлектрическая постоянная среды. Мы не будем выводить эти уравнения.