ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделу «Дифференциальные уравнения» курса «Математический анализ». Она входит в серию пособий по математическому анализу, выходящую под общей редакцией профессора Н. Я. Виленкина (в настоящее время в этой серии вышли книги: «Введение в анализ» (1983 г.), «Дифференциальное исчисление» (1984 г.), «Интегральное исчисление» (1979 г.), «Ряды» (1982 г.), «Мощность, метрика, интеграл» (1980 г.), «Элементы функционального анализа в задачах» (1978 г.), и готовится к печати пособие «Теория аналитических функций»). Книга написана в соответствии с действующей программой, причем в конце включен небольшой раздел, посвященный уравнениям в частных производных, который предусматривается проектом новой программы курса математического анализа.

Книга состоит из введения и трех глав. Первая глава посвящена дифференциальным уравнениям первого порядка, решаемым в квадратурах, и методам понижения порядка для дифференциальных уравнений высшего порядка. При этом мы предпочли начать не с общего класса уравнений в полных дифференциалах, а с метода разделения переменных как более наглядного и требующего меньшего числа предварительных сведений.

Одной из важнейших целей раздела «Дифференциальные уравнения» авторы считают обучение студента умению решать физические и геометрические задачи с помощью таких уравнений. Этот вопрос детально рассматривается в первой главе. Общие методы составления дифференциальных уравнений иллюстрируются на многих конкретных примерах.

Во второй главе рассматриваются общие вопросы, относящиеся к дифференциальным уравнениям, — вопросы существования и единственности решения, особые точки и решения и т. д. Относительно доказательства теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений первого порядка читатель отсылается к книге «Математический анализ. Мощность, метрика, интеграл» (Н. Я. Виленкин, М. Б. Балк, В. А. Петров. М., 1980), где оно приведено в общем контексте метода последовательных приближений. Даны формулировки обобщений этой теоремы на системы дифференциальных уравнений первого порядка и на уравнения высшего порядка. Однако соответствующие доказательства не проводятся, поскольку они не содержат новых идей и в то же время затруднительны технически.

Третья глава посвящена линейным дифференциальным уравнениям высшего порядка. В изложении общей теории таких уравнений мы широко используем понятие линейного дифференциального оператора. Это понятие значительно облегчает вывод многих теорем и является одним из важнейших в современной математике, а потому заслуживает особого внимания. При доказательствах теорем мы опираемся на известные студентам сведения из линейной алгебры, что позволяет не формулировать заново соответствующие понятия для частного случая пространства решений. Методы, связанные с дифференциальными, операторами, используются и при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Каждой параграф пособия снабжен вопросами для самопроверки и упражнениями. Нумерация теорем, лемм и. примеров сплошная на протяжении каждого пункта.

Авторы выражают глубокую благодарность за тщательное рецензирование, способствовавшее улучшению рукописи, профессору М. И. Граеву и кандидату физ.-мат. наук Л. М. Молчановой.

Авторы просят присылать отзывы и замечания по адресу: Москва, 129846, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издательство «Просвещение», редакция математики.