2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений.

Ради простоты изложения ограничимся в этом пункте рассмотрением линейных дифференциальных уравнений второго порядка — общий случай мало отличается от этого частного случая. Для линейных дифференциальных уравнений справедлива следующая теорема, уточняющая теорему существования и единственности, сформулированную в п. 2, § 2, главы II.

Теорема. Пусть функции непрерывны на отрезке Тогда для любой точки этого отрезка и любых чисел существует единственное решение приведенного линейного дифференциального уравнения

заданное на всем отрезке и удовлетворяющее начальным условиям:

Доказательство. Уравнение (1) запишем в виде

Тогда для него имеем: . Значит, По условию

теоремы эти функции непрерывны, а потому ограничены на . Ограничена на и функция Поэтому существует такое число L, что на выполняются неравенства:

Тем самым выполнено условие ограниченности частных производных из теоремы 1 п. 2, § 2, главы II.

Обозначим через Q прямоугольный параллелепипед в трехмерном пространстве с координатами , заданный неравенствами:

где .

В этом параллелепипеде имеем: и потому Аналогично имеем: Но тогда в этим параллелепипеде имеем:

Правую часть этого неравенства обозначим М. Тогда имеем в Q неравенство . При этом имеем:

где для краткости положено

При достаточно больших значениях b имеем: и потому откуда

Аналогично доказывается, что для достаточно больших значений b выполняется неравенство

Поскольку в теореме 1 п. 2, § 2, главы II в качестве выбиралось наименьшее из чисел то видим, что значение I можно выбрать не зависящим ни от выбора ни от выбора чисел например, можно положить

Из теоремы 1 п. 2, § 2, главы II вытекает, что искомое решение существует на отрезке Примем значение этого решения и его производной в точке за начальные условия в этой точке для решения на отрезке Значения же решения и его производной в точке примем за начальные условия в этой точке для отрезка Продолжая этот процесс, через конечное число шагов получаем решение, заданное на всем отрезке

Пример 1. Коэффициенты уравнения

непрерывны на луче Значит, на этом луче для уравнения (1) справедлива теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка.

Для линейного дифференциального уравнения порядка

следует потребовать непрерывности на функций

Аналогичная теорема справедлива для системы линейных дифференциальных уравнений. Как было отмечено выше, такая система имеет вид: где матрица с элементами — вектор с координатами вектор с координатами Теорема существования и единственности имеет место на отрезке при любом выборе точки этого отрезка и значений на непрерывны все элементы матрицы А и все координаты вектора

Поскольку постоянные являются непрерывными функциями, то сформулированные в этом пункте утверждения верны для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. для уравнений вида

где числа.