5. Решение задач с помощью интегральных уравнений.

В некоторых случаях решение задач приводит к уравнениям, содержащим искомую функцию под знаком интеграла, т. е. так называемым интегральным уравнениям. Такие уравнения после дифференцирования обеих частей иногда сводятся к дифференциальным уравнениям.

Рис. 9

Пример 1. Найдем кривую, обладающую следующим свойством: для любой точки (х; у) центр тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим точку М с ее проекцией на ось абсцисс (рис. 9), равен — абсциссы этой точки.

Решение. Как доказывается в интегральном исчислении, абсцисса центра тяжести данной криволинейной трапеции выражается формулой

где t — переменная интегрирования, а у = у (t) - уравнение искомой кривой.

По условию задачи имеем уравнение

Так как искомая функция содержится под знаком интеграла, это уравнение является интегральным. Запишем это уравнение в виде

и продифференцируем обе часто равенства по х. Поскольку производная интеграла по верхнему пределу равна соответствующему значению подынтегральной функции, получаем уравнение

которое также является интегральным. После приведения подобных членов и вторичного дифференцирования получаем дифференциальное уравнение , общее решение которого имеет вид: .

Итак, требуемым свойством обладает любая парабола из семейства

Заметим, что, вообще, любое дифференциальное уравнение

с начальными условиями равносильно интегральному уравнению

В самом деле, из равенства (3) следует, что

и потому выполнено начальное условие. Далее, если функция является решением уравнения (3), то имеет место равенство

Дифференцируя обе части этого равенства по х, получаем, что откуда видно, что та же функция является решением уравнения (2).

Обратно, пусть функция удовлетворяет уравнению , т. е. пусть . Заменим в этом равенстве на проинтегрируем обе части равенства по t от до и примем во

внимание, что . Получим равенство (4), показывающее, что данная функция удовлетворяет и уравнению (3).

Пример 2. Функция является решением дифференциального уравнения

удовлетворяющего начальному условию . Значит эта функция является решением интегрального уравнения