Вопросы для самопроверки

1. Какое дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами?

2. Как установить линейную независимость частных решений функций и не используя вронскиан этих функций?

3. При каком значении коэффициента уравнение имеет решение ? (С - постоянная.)

4. Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае:

а) различных действительных корней характеристического уравнения;

б) различных комплексных корней;

в) кратного корня?

5. При каких видах правой части для отыскания частного решения удобно пользоваться методом неопределенных коэффициентов?

6. Правая часть в неоднородном уравнении имеет вид: а) Когда в случае а) частное решение ищется в виде многочлена степени Когда в случае б) частное решение ищется в виде

Почему при непрерывной правой части линейного неоднородного уравнения задача Коши всегда имеет решение?

Упражнения

Найдите общее решение следующих уравнений:

Найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

44. Для уравнения найдите интегральную кривую, которая проходит через точку и касается в этой точке прямой

45. Какая интегральная кривая уравнения проходит через точку имея в этой точке касательную, наклоненную под углом arctg 6 к оси абсцисс?

46. При каких значениях коэффициента q уравнение имеет ненулевые решения, стремящиеся к нулю, при

47. При каких значениях коэффициентов все решения уравнение ограничены на полуоси

48. При каких значениях коэффициентов все решения уравнения являются периодическими функциями от

Для каждого из данных уравнений напишите вид его частного решения (числовые значения коэффициентов не находить):

Найдите общее решение следующих уравнений:

Найдите решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям (задача Коши):

Методом вариации постоянных найдите общее решение заданных уравнений:

67. Тяжелое тело скользит по шероховатой наклонной плоскости, угол наклона равен а, коэффициент трения Найдите закон движения, если начальная скорость равна нулю.

68. Определите переходную кривую железнодорожного закрепления по ее дифференциальному уравнению если , — постоянная

69. Кривая свода определяется уравнением где Н — постоянная. Найдите у, если

70. Цепь длиной сползает со стола без трения. Движение началось тогда, когда один метр цепи уже свис. За какое время сползет вся цепь?

71. По кабелю длиной проходит ток (сила тока сопротивление кабеля на единицу длины проводимость тока утечки на единицу длины . При этих условиях изменение силы тока моделируется дифференциальным уравнением Найдите силу тока на кон кабеля, если на его начале