Главная > Дифференциальные уравнения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1. Введение.

До сих пор мы рассматривали лишь обыкновенные дифференциальные уравнения, т. е. дифференциальные уравнения, в которых искомая функция зависит только от одного аргумента. Но функции, встречающиеся в приложениях, обычно зависят от многих переменных.

Пример 1. Отклонение и точки колеблющейся струны от положения равновесия является функцией двух переменных — координаты этой точки и момента времени Если выбрать начало координат в левом конце струны и обозначить длину струны через , то при условии, что струна закреплена на концах, функция и должна удовлетворять условиям и Эти условия называют краевыми или, иначе, граничными, условиями. Скорость колебания точки в момент времени t равна частной производной (поскольку координата х не меняется, а скорость равна производной отклонения и по времени). Из физических соображений ясно, что процесс колебаний струны однозначно определяется начальным отклонением от положения равновесия

и начальной скоростью точек струны, т. е. функциями . Задание функций называют начальными условиями.

Пример 2. При поперечных колебаниях мембраны отклонение и точки от положения равновесия является уже функцией от трех переменных: координат у этой точки и момента времени . Если мембрана закреплена вдоль своей границы Г, то при любых а: и у, таких, что точка принадлежит Г, должно выполняться условие и Это является краевым условием в данном случае. А начальные условия имеют вид: и

Пример 3. Рассмотрим металлический стержень длиной температура которого в разных точках различна. Тогда с течением времени будет происходить перераспределение температуры вдоль стержня, и потому температура точки в момент времени t является функцией двух переменных: . Начальное распределение температуры задается функцией . Для однозначного определения процесса распространения тепла надо еще знать условия на концах стержня (мы считаем, что боковая поверхность стержня теплоизолирована). Если, например, левый конец стержня поддерживается при температуре а правый — при температуре , то должны выполняться краевые условия:

Пример 4. Процесс теплопередачи в металлической пластинке описывается уже функцией трех переменных . Здесь начальное условие имеет вид: (задана начальная температура каждой точки), а краевым условием является, например, задание температуры в каждой точке границы Г данной пластинки, поддерживаемой в течение всего процесса.

Пример 5. Зададим в пространстве некоторое распределение электрических зарядов. Возникающее при этом электрическое поле описывается своим потенциалом который зависит от трех переменных — координат точки: . Если окружить заряды электропроводящей поверхностью то потенциал на ней будет равен нулю. Это задает краевое условие для потенциала, Начальные условия в случае постоянного поля роли не играют.

Для описания указанных выше процессов и явлений надо уметь по заданным начальным и краевым условиям

находить функции, описывающие данные процессы ( и т. д.). Это оказывается возможным, так как такие функции удовлетворяют Определенным дифференциальным уравнениям. Поскольку функции зависят от нескольких переменных, то эти дифференциальные уравнения содержат не обыкновенные производные, а частные, и потому их называют дифференциальными уравнениями в частных производных. При этом в задачах математической физики чаще всего встречаются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (т. е. содержащие частные производные до второго порядка включительно). Поэтому принято называть дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка уравнениями математической физики. В этом параграфе мы выведем уравнение колебаний струны и покажем один из методов решения этого уравнения.

1
Оглавление
email@scask.ru