§ 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1. Введение.

До сих пор мы рассматривали лишь обыкновенные дифференциальные уравнения, т. е. дифференциальные уравнения, в которых искомая функция зависит только от одного аргумента. Но функции, встречающиеся в приложениях, обычно зависят от многих переменных.

Пример 1. Отклонение и точки колеблющейся струны от положения равновесия является функцией двух переменных — координаты этой точки и момента времени Если выбрать начало координат в левом конце струны и обозначить длину струны через , то при условии, что струна закреплена на концах, функция и должна удовлетворять условиям и Эти условия называют краевыми или, иначе, граничными, условиями. Скорость колебания точки в момент времени t равна частной производной (поскольку координата х не меняется, а скорость равна производной отклонения и по времени). Из физических соображений ясно, что процесс колебаний струны однозначно определяется начальным отклонением от положения равновесия

и начальной скоростью точек струны, т. е. функциями . Задание функций называют начальными условиями.

Пример 2. При поперечных колебаниях мембраны отклонение и точки от положения равновесия является уже функцией от трех переменных: координат у этой точки и момента времени . Если мембрана закреплена вдоль своей границы Г, то при любых а: и у, таких, что точка принадлежит Г, должно выполняться условие и Это является краевым условием в данном случае. А начальные условия имеют вид: и

Пример 3. Рассмотрим металлический стержень длиной температура которого в разных точках различна. Тогда с течением времени будет происходить перераспределение температуры вдоль стержня, и потому температура точки в момент времени t является функцией двух переменных: . Начальное распределение температуры задается функцией . Для однозначного определения процесса распространения тепла надо еще знать условия на концах стержня (мы считаем, что боковая поверхность стержня теплоизолирована). Если, например, левый конец стержня поддерживается при температуре а правый — при температуре , то должны выполняться краевые условия:

Пример 4. Процесс теплопередачи в металлической пластинке описывается уже функцией трех переменных . Здесь начальное условие имеет вид: (задана начальная температура каждой точки), а краевым условием является, например, задание температуры в каждой точке границы Г данной пластинки, поддерживаемой в течение всего процесса.

Пример 5. Зададим в пространстве некоторое распределение электрических зарядов. Возникающее при этом электрическое поле описывается своим потенциалом который зависит от трех переменных — координат точки: . Если окружить заряды электропроводящей поверхностью то потенциал на ней будет равен нулю. Это задает краевое условие для потенциала, Начальные условия в случае постоянного поля роли не играют.

Для описания указанных выше процессов и явлений надо уметь по заданным начальным и краевым условиям

находить функции, описывающие данные процессы ( и т. д.). Это оказывается возможным, так как такие функции удовлетворяют Определенным дифференциальным уравнениям. Поскольку функции зависят от нескольких переменных, то эти дифференциальные уравнения содержат не обыкновенные производные, а частные, и потому их называют дифференциальными уравнениями в частных производных. При этом в задачах математической физики чаще всего встречаются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (т. е. содержащие частные производные до второго порядка включительно). Поэтому принято называть дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка уравнениями математической физики. В этом параграфе мы выведем уравнение колебаний струны и покажем один из методов решения этого уравнения.