3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений.

Во многих задачах геометрической оптики, картографии и других областей науки возникает необходимость в нахождении кривых по тем или иным свойствам проведенных к ним касательных. Поскольку угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания, такие задачи решаются обычно с помощью дифференциальных уравнений.

При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:

1) Сделать чертеж и ввести обозначения.

2) Отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках, т. е. начальных условий.

3) Выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной.

4) По условию задачи составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая.

5) Найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.

Рис. 5

Пример. По какой поверхности надо отшлифовать зеркало прожектора, чтобы все лучи, выходящие из источника света, помещенного в точке О на оси вращения, отражались бы зеркалом параллельно этой оси (рис. 5)?

Решение. Возьмем меридианное сечение поверхности вращения. Выберем начало координат в точке О, ось абсцисс направим по оси вращения и обозначим угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к искомой кривой, проведенной в точке через а. Тогда по условию задачи имеем: . Но падения равен углу отражения), поэтому . Таким образом, треугольник ОАМ равнобедренный . Из чертежа видно, что .

Поскольку то .

С другой стороны, . Поэтому из равенства следует дифференциальное уравнение

Его можно представить в дифференциальной форме:

Получилось однородное дифференциальное уравнение. Делаем подстановку и получаем уравнение с разделяющимися переменными:

Оно преобразуется к виду

Отсюда находим, что

т. е.

Запишем полученное уравнение в виде и заменим и на . Получаем: или окончательно:

Мы получили семейство парабол, симметричных относительно оси абсцисс, с параметром С и вершиной, находящейся в точке . Легко проверить, что фокусы всех этих парабол находятся в начале координат О. Итак, искомой поверхностью является параболоид вращения, а источник света находится в фокусе вращающейся параболы.

Заметим, что если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи будут проходить через фокус, где получится высокая температура (отсюда и название focus — очаг). Параболические зеркала применяются и в радиолокации.